🌟 13.1 三角形的概念 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
2．如图，以 $D$ 为顶点的三角形的个数为（ ）
3．如图，被木条遮住了一部分，只露出 $\angle A$，则 $\angle B$ 与 $\angle C$ 可能是（ ）
4．如图，图中共有（ ）个三角形．
5．在一个三角形中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（ ）
6．若一个三角形两个外角之和为 $270^\circ$，那么这个三角形是（ ）
7．一个三角形的三个内角中最小的一个是 $50^\circ$，那么这个三角形是（ ）
8．如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）
9．如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AD, BF, CE$ 相交于 $O$ 点，则图中的三角形的个数是（ ）
10．一个三角形的三边长之比是 $2:2:1$，周长是 $15$，此三角形按边分是（ ）
11．如图，$AH \bot BC$，$M$ 为 $BC$ 上一点，则以 $AH$ 为高的三角形的个数是（ ）．
12．试用学过的知识判断，下列说法正确的是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．一个三角形有两个内角的度数分别为 $70^\circ$ 和 $50^\circ$，则这个三角形属于 三角形．
14．如图，以 $AB$ 为边的三角形的个数是 ．
15．在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A, \angle B$ 都是锐角，且满足 $|\sin A - \frac{1}{2}| + (\cos B - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 0$，则三角形的形状是 三角形．
16．如图，图中共有 个三角形，其中以 $AB$ 为一边的三角形有 ，以 $\angle C$ 为一个内角的三角形有 ．
17．已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ．
（2）以线段 $AC$ 为公共边的三角形是 ．
（3）线段 $CD$ 所在的三角形是 ，$BD$ 边所对的角是 ．
（4）$\triangle ABC$、$\triangle ACD$、$\triangle ADE$ 这三个三角形的面积之比等于 ．
（2）以线段 $AC$ 为公共边的三角形是 ．
（3）线段 $CD$ 所在的三角形是 ，$BD$ 边所对的角是 ．
（4）$\triangle ABC$、$\triangle ACD$、$\triangle ADE$ 这三个三角形的面积之比等于 ．
三、 解答题 (18-24)
18．许多概念之间都是有关系的．三角形、等腰三角形、等边三角形之间有什么关系？画出表示它们之间关系的示意图。
【参考答案与解析】
解：三角形按照边的关系，可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形。
而等边三角形是三条边都相等的三角形，它是等腰三角形的一种特殊情况（底边和腰相等的等腰三角形）。
示意图如下：
解：三角形按照边的关系，可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形。
而等边三角形是三条边都相等的三角形，它是等腰三角形的一种特殊情况（底边和腰相等的等腰三角形）。
示意图如下：
19．图①、图②、图③均是 $3 \times 3$ 的正方形网格，每个小正方形的边长为 $1$，每个小正方形的顶点称为格点，线段 $AB$ 的端点均在格点上。只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以 $AB$ 为边画 $\triangle ABC$，要求点 $C$ 在格点上：
（1）在图①中画一个直角三角形；
（2）在图②中画一个锐角三角形；
（3）在图③中画一个钝角三角形。
（1）在图①中画一个直角三角形；
（2）在图②中画一个锐角三角形；
（3）在图③中画一个钝角三角形。
【参考答案与解析】
解：(答案不唯一) 如图所示，即为符合条件的三角形：
解：(答案不唯一) 如图所示，即为符合条件的三角形：
20．已知 $\triangle ABC$ 中，$\angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 6$（*根据解析逻辑补充题干条件*），求 $\angle A$、$\angle B$ 和 $\angle C$ 的度数，它是什么三角形？
【参考答案与解析】
解：因为 $\triangle ABC$ 中内角和为 $180^\circ$。
根据比例设 $\angle A = x$，则 $\angle B = 2x$，$\angle C = 6x$。
根据三角形内角和定理：
$x + 2x + 6x = 180^\circ$
即 $9x = 180^\circ$，解得 $x = 20^\circ$。
所以：
$\angle A = 20^\circ$
$\angle B = 40^\circ$
$\angle C = 120^\circ$
因为 $\angle C = 120^\circ > 90^\circ$，有一个角是钝角，所以 $\triangle ABC$ 是钝角三角形。
解：因为 $\triangle ABC$ 中内角和为 $180^\circ$。
根据比例设 $\angle A = x$，则 $\angle B = 2x$，$\angle C = 6x$。
根据三角形内角和定理：
$x + 2x + 6x = 180^\circ$
即 $9x = 180^\circ$，解得 $x = 20^\circ$。
所以：
$\angle A = 20^\circ$
$\angle B = 40^\circ$
$\angle C = 120^\circ$
因为 $\angle C = 120^\circ > 90^\circ$，有一个角是钝角，所以 $\triangle ABC$ 是钝角三角形。
21．如图①所示，以正方形 $ABCO$ 的点 $O$ 为坐标原点建立平面直角坐标系，其中线段 $OA$ 在 $y$ 轴上，线段 $OC$ 在 $x$ 轴上，已知正方形的周长为 16。
(1) 直接写出 $B$、$C$ 两点坐标；
(2) 如图②，连接 $OB$，若点 $P$ 在 $y$ 轴上，且 $S_{\triangle POB} = S_{\triangle BOC}$，求 $P$ 点坐标；
(3) 如图③，若 $OB \parallel DE$，点 $P$ 从点 $O$ 出发，沿 $x$ 轴正方向运动，连接 $PB, PE$。则 $\angle OPB, \angle PBE, \angle BED$ 三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑重合情况）？并说明理由。
(1) 直接写出 $B$、$C$ 两点坐标；
(2) 如图②，连接 $OB$，若点 $P$ 在 $y$ 轴上，且 $S_{\triangle POB} = S_{\triangle BOC}$，求 $P$ 点坐标；
(3) 如图③，若 $OB \parallel DE$，点 $P$ 从点 $O$ 出发，沿 $x$ 轴正方向运动，连接 $PB, PE$。则 $\angle OPB, \angle PBE, \angle BED$ 三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑重合情况）？并说明理由。
【参考答案与解析】
(1) 解：因为正方形 $ABCO$ 的周长为 16，所以正方形边长为 $4$。
点 $B$ 在第一象限，所以 $B$ 坐标为 $(4, 4)$，点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴，所以 $C$ 坐标为 $(4, 0)$。
(2) 解：由题意可知 $OC = BC = 4$，
所以 $S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \times OC \times BC = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$。
设点 $P$ 在 $y$ 轴上的坐标为 $(0, m)$，则底边 $OP = |m|$。
$\triangle POB$ 的高为点 $B$ 到 $y$ 轴的距离，即 $x_B = 4$。
$S_{\triangle POB} = \frac{1}{2} \times OP \times 4 = 2|m|$。
因为 $S_{\triangle POB} = S_{\triangle BOC}$，所以 $2|m| = 8 \implies |m| = 4$。
解得 $m = 4$ 或 $m = -4$。
所以点 $P$ 坐标为 $(0, 4)$ 或 $(0, -4)$。
(3) 解：数量关系为：$\angle OPB = \angle PBE + \angle BED$。
理由如下：
如图，过点 $P$ 作 $PQ \parallel OB$ 交 $BC$ 于点 $Q$。
因为 $PQ \parallel OB$，根据平行线的内错角相等，有 $\angle OPB = \angle BPQ$。
又因为 $OB \parallel DE$，且 $PQ \parallel OB$，所以 $PQ \parallel DE$。
由 $PQ \parallel DE$ 可得 $\angle EPQ = \angle BED$（内错角相等）。
观察图形可知：$\angle BPQ = \angle PBE + \angle EPQ$。
等量代换得到：$\angle OPB = \angle PBE + \angle BED$。
(1) 解：因为正方形 $ABCO$ 的周长为 16，所以正方形边长为 $4$。
点 $B$ 在第一象限，所以 $B$ 坐标为 $(4, 4)$，点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴，所以 $C$ 坐标为 $(4, 0)$。
(2) 解：由题意可知 $OC = BC = 4$，
所以 $S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \times OC \times BC = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$。
设点 $P$ 在 $y$ 轴上的坐标为 $(0, m)$，则底边 $OP = |m|$。
$\triangle POB$ 的高为点 $B$ 到 $y$ 轴的距离，即 $x_B = 4$。
$S_{\triangle POB} = \frac{1}{2} \times OP \times 4 = 2|m|$。
因为 $S_{\triangle POB} = S_{\triangle BOC}$，所以 $2|m| = 8 \implies |m| = 4$。
解得 $m = 4$ 或 $m = -4$。
所以点 $P$ 坐标为 $(0, 4)$ 或 $(0, -4)$。
(3) 解：数量关系为：$\angle OPB = \angle PBE + \angle BED$。
理由如下：
如图，过点 $P$ 作 $PQ \parallel OB$ 交 $BC$ 于点 $Q$。
因为 $PQ \parallel OB$，根据平行线的内错角相等，有 $\angle OPB = \angle BPQ$。
又因为 $OB \parallel DE$，且 $PQ \parallel OB$，所以 $PQ \parallel DE$。
由 $PQ \parallel DE$ 可得 $\angle EPQ = \angle BED$（内错角相等）。
观察图形可知：$\angle BPQ = \angle PBE + \angle EPQ$。
等量代换得到：$\angle OPB = \angle PBE + \angle BED$。
22．如果一个三角形的一边长为 $6$，另一边长为 $2$。
(1) 求第三边的范围。
(2) 当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）。
(1) 求第三边的范围。
(2) 当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）。
【参考答案与解析】
(1) 解：设第三边长为 $x$。
根据三角形三边关系：两边之差 $<$ 第三边 $<$ 两边之和。
$6 - 2 < x < 6 + 2$
即 $4 < x < 8$。
(2) 解：因为第三边长 $x$ 为奇数，且满足 $4 < x < 8$，
所以 $x$ 可以取的值为 $5$ 或 $7$。
① 当 $x = 5$ 时，三边长为 $2, 5, 6$，周长 = $2 + 5 + 6 = $ $13$。
此时三边都不相等，是不等边三角形。
② 当 $x = 7$ 时，三边长为 $2, 6, 7$，周长 = $2 + 6 + 7 = $ $15$。
此时三边都不相等，是不等边三角形。
*(注：若题目意思是找一个特定的三角形，比如要求它也是等腰，由于 2,6为边，第三边不能是2或6，所以不存在等腰的情况。因此奇数只能是 5 或 7。)*
(1) 解：设第三边长为 $x$。
根据三角形三边关系：两边之差 $<$ 第三边 $<$ 两边之和。
$6 - 2 < x < 6 + 2$
即 $4 < x < 8$。
(2) 解：因为第三边长 $x$ 为奇数，且满足 $4 < x < 8$，
所以 $x$ 可以取的值为 $5$ 或 $7$。
① 当 $x = 5$ 时，三边长为 $2, 5, 6$，周长 = $2 + 5 + 6 = $ $13$。
此时三边都不相等，是不等边三角形。
② 当 $x = 7$ 时，三边长为 $2, 6, 7$，周长 = $2 + 6 + 7 = $ $15$。
此时三边都不相等，是不等边三角形。
*(注：若题目意思是找一个特定的三角形，比如要求它也是等腰，由于 2,6为边，第三边不能是2或6，所以不存在等腰的情况。因此奇数只能是 5 或 7。)*
23．在如图所示的方格中，以 $AB$ 为一边，以小正方形的格点为顶点，画出符合下列条件的三角形。
(1) 钝角三角形；
(2) 等腰直角三角形；
(3) 等腰三角形。
(1) 钝角三角形；
(2) 等腰直角三角形；
(3) 等腰三角形。
【参考答案与解析】
解：(作图答案不唯一，提供常见解法)
设网格坐标，$A(1, 1)$, $B(3, 2)$，则 $AB$ 向量为 $(2, 1)$，$AB^2 = 5$。
(1) 钝角三角形： 取格点 $C(1, 3)$，连接 $AC, BC$。此时 $\angle A$ 为钝角。
(2) 等腰直角三角形： 需要找到点 $C$，使得 $AC \bot AB$ 且 $AC = AB$。根据向量旋转 $90^\circ$，$AC$ 向量应为 $(-1, 2)$ 或 $(1, -2)$。
若 $AC = (-1, 2)$，则 $C$ 坐标为 $(0, 3)$。
(3) 等腰三角形： (非直角) 找中垂线上的格点，或使 $AC = AB$。
例如点 $C(3, 0)$，则 $AC$ 向量为 $(2, -1)$，$AC^2 = 5 = AB^2$，此时是等腰三角形。
解：(作图答案不唯一，提供常见解法)
设网格坐标，$A(1, 1)$, $B(3, 2)$，则 $AB$ 向量为 $(2, 1)$，$AB^2 = 5$。
(1) 钝角三角形： 取格点 $C(1, 3)$，连接 $AC, BC$。此时 $\angle A$ 为钝角。
(2) 等腰直角三角形： 需要找到点 $C$，使得 $AC \bot AB$ 且 $AC = AB$。根据向量旋转 $90^\circ$，$AC$ 向量应为 $(-1, 2)$ 或 $(1, -2)$。
若 $AC = (-1, 2)$，则 $C$ 坐标为 $(0, 3)$。
(3) 等腰三角形： (非直角) 找中垂线上的格点，或使 $AC = AB$。
例如点 $C(3, 0)$，则 $AC$ 向量为 $(2, -1)$，$AC^2 = 5 = AB^2$，此时是等腰三角形。
24．根据下列所给条件，判断 $\triangle ABC$ 的形状。
（1）$\angle A = 40^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle C = 80^\circ$；
（2）$\angle A = 100^\circ$；
（3）$\angle A = \angle B + \angle C$；
（4）$AB = AC, \angle B = 50^\circ$。
（1）$\angle A = 40^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle C = 80^\circ$；
（2）$\angle A = 100^\circ$；
（3）$\angle A = \angle B + \angle C$；
（4）$AB = AC, \angle B = 50^\circ$。
【参考答案与解析】
解：
（1）因为三个内角（$40^\circ, 60^\circ, 80^\circ$）均小于 $90^\circ$，所以是锐角三角形。
（2）因为最大角 $\angle A = 100^\circ > 90^\circ$，所以是钝角三角形。
（3）因为 $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$，且 $\angle A = \angle B + \angle C$。
等量代换得 $2\angle A = 180^\circ \implies \angle A = 90^\circ$。
所以此三角形为直角三角形。
（4）因为三角形有两条边相等（$AB = AC$），符合等腰三角形的定义。
此时 $\angle C = \angle B = 50^\circ$，$\angle A = 180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ$。全是锐角。
所以此三角形为等腰（锐角）三角形。
解：
（1）因为三个内角（$40^\circ, 60^\circ, 80^\circ$）均小于 $90^\circ$，所以是锐角三角形。
（2）因为最大角 $\angle A = 100^\circ > 90^\circ$，所以是钝角三角形。
（3）因为 $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$，且 $\angle A = \angle B + \angle C$。
等量代换得 $2\angle A = 180^\circ \implies \angle A = 90^\circ$。
所以此三角形为直角三角形。
（4）因为三角形有两条边相等（$AB = AC$），符合等腰三角形的定义。
此时 $\angle C = \angle B = 50^\circ$，$\angle A = 180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ$。全是锐角。
所以此三角形为等腰（锐角）三角形。