🌟 13.2 与三角形有关的线段 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．如图，用三角板作 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
2．四条线段的长度分别为 $3, 5, 8, 11$，可以组成三角形的组数为（ ）
3．如图，$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上的中线，$BE$ 是 $\triangle ABD$ 的边 $AD$ 上的中线，若 $\triangle ABC$ 的面积是 $16$，则 $\triangle ABE$ 的面积是（ ）
4．某校准备在如图所示的三角形空地上种植花卉，需将其分成面积相等的两块分别种植牡丹和芍药，小敏作出线段 $AD$ 来划分，那么 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的（ ）
5．利用直角三角板，作 $\triangle ABC$ 的高 $CD$，下列作法正确的是（ ）
6．在如图中，正确画出 $\triangle ABC$ 边 $AC$ 上高的是（ ）
7．如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（ ）
8．如图，$AD, AE, AF$ 分别是 $\triangle ABC$ 的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（ ）
9．如图，三角形 $ABC$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD \bot BC$，垂足为 $D$，则下列结论正确的是（ ）
10．如图，$A, B, C$ 分别是线段 $B_1C, C_1A, A_1B$ 的中点，已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $1$，则 $\triangle A_1B_1C_1$ 的面积是（ ）
11．小涵求 $\triangle ABC$ 的面积时，作了边 $AB$ 上的高，下列作图正确的是（ ）
12．如图，$\triangle ABC$ 的中线 $CD$、角平分线 $AE$ 交于点 $O$，则下列结论中正确的是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．已知一个三角形的两边长为 $4$ 和 $7$，则第三边 $x$ 的取值范围是 ．
14．登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ．
15．如图，点 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，延长 $AO$ 交 $BC$ 于点 $D$，延长 $BO$ 交 $AC$ 于点 $E$．若 $OE = 2.5$，则 $OB =$ ．
16．若三角形三边的长分别为 $a, b, c$，则应满足的条件是 ．
17．如图，$A, B$ 两点都在直线 $MN$ 的上方，点 $A$ 到直线 $MN$ 的距离为 $4$，点 $B$ 到直线 $MN$ 的距离为 $1$，且垂足间的距离 $CD=4$。点 $P$ 在直线 $MN$ 上运动，则 $|PA - PB|$ 的最大值等于 ．
三、 解答题 (18-24)
18．如图所示，已知三角形 $ABC$ 的面积为 $20$，$BD = DC$，$AE = EB$，求阴影部分（$\triangle ABF$ 与 $\triangle FDC$）的面积之和。
*(注：结合重心的性质进行求解)*
*(注：结合重心的性质进行求解)*
【参考答案与解析】
解：因为 $BD = DC$，$AE = EB$，
所以 $AD$、$CE$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，交点 $F$ 即为 $\triangle ABC$ 的重心。
连接 $BF$。根据重心的性质，三角形的三条中线将三角形分成六个面积相等的小三角形。
所以 $S_{\triangle ABF} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC}$，
$S_{\triangle FDC} = \frac{1}{6} S_{\triangle ABC}$。
阴影部分的面积为：
$S_{\text{阴影}} = S_{\triangle ABF} + S_{\triangle FDC} = \frac{1}{3} \times 20 + \frac{1}{6} \times 20 = \frac{20}{3} + \frac{10}{3} = $ $10$。
答：阴影部分的面积为 $10$。
解：因为 $BD = DC$，$AE = EB$，
所以 $AD$、$CE$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，交点 $F$ 即为 $\triangle ABC$ 的重心。
连接 $BF$。根据重心的性质，三角形的三条中线将三角形分成六个面积相等的小三角形。
所以 $S_{\triangle ABF} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC}$，
$S_{\triangle FDC} = \frac{1}{6} S_{\triangle ABC}$。
阴影部分的面积为：
$S_{\text{阴影}} = S_{\triangle ABF} + S_{\triangle FDC} = \frac{1}{3} \times 20 + \frac{1}{6} \times 20 = \frac{20}{3} + \frac{10}{3} = $ $10$。
答：阴影部分的面积为 $10$。
19．如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，边 $AC$ 上的中线 $BD$ 把 $\triangle ABC$ 的周长分成 $60$ 和 $40$ 两部分，求 $AB$ 和 $BC$ 的长。
【参考答案与解析】
解：因为 $BD$ 是边 $AC$ 上的中线，所以 $AD = CD = \frac{1}{2} AC$。
又因为 $AB = AC$，所以 $AD = CD = \frac{1}{2} AB$。
中线 $BD$ 将三角形周长分成的两部分分别为：$(AB + AD)$ 和 $(BC + CD)$。
由于分为 $60$ 和 $40$ 两部分，需要分两种情况讨论：
情况一： 当 $AB + AD = 60$ 且 $BC + CD = 40$ 时，
$AB + \frac{1}{2} AB = 60 \implies \frac{3}{2} AB = 60 \implies $ $AB = 40$。
此时 $CD = 20$，由 $BC + CD = 40 \implies BC + 20 = 40 \implies $ $BC = 20$。
检验：$AB+AC>BC$ 即 $40+40>20$，符合三角形三边关系。
情况二： 当 $AB + AD = 40$ 且 $BC + CD = 60$ 时，
$AB + \frac{1}{2} AB = 40 \implies \frac{3}{2} AB = 40 \implies $ $AB = \frac{80}{3}$。
此时 $CD = \frac{40}{3}$，由 $BC + CD = 60 \implies BC + \frac{40}{3} = 60 \implies $ $BC = \frac{140}{3}$。
检验：$AB+AC>BC$ 即 $\frac{80}{3} + \frac{80}{3} = \frac{160}{3} > \frac{140}{3}$，符合三角形三边关系。
综上所述：$AB=40, BC=20$ 或 $AB=\frac{80}{3}, BC=\frac{140}{3}$。
解：因为 $BD$ 是边 $AC$ 上的中线，所以 $AD = CD = \frac{1}{2} AC$。
又因为 $AB = AC$，所以 $AD = CD = \frac{1}{2} AB$。
中线 $BD$ 将三角形周长分成的两部分分别为：$(AB + AD)$ 和 $(BC + CD)$。
由于分为 $60$ 和 $40$ 两部分，需要分两种情况讨论：
情况一： 当 $AB + AD = 60$ 且 $BC + CD = 40$ 时，
$AB + \frac{1}{2} AB = 60 \implies \frac{3}{2} AB = 60 \implies $ $AB = 40$。
此时 $CD = 20$，由 $BC + CD = 40 \implies BC + 20 = 40 \implies $ $BC = 20$。
检验：$AB+AC>BC$ 即 $40+40>20$，符合三角形三边关系。
情况二： 当 $AB + AD = 40$ 且 $BC + CD = 60$ 时，
$AB + \frac{1}{2} AB = 40 \implies \frac{3}{2} AB = 40 \implies $ $AB = \frac{80}{3}$。
此时 $CD = \frac{40}{3}$，由 $BC + CD = 60 \implies BC + \frac{40}{3} = 60 \implies $ $BC = \frac{140}{3}$。
检验：$AB+AC>BC$ 即 $\frac{80}{3} + \frac{80}{3} = \frac{160}{3} > \frac{140}{3}$，符合三角形三边关系。
综上所述：$AB=40, BC=20$ 或 $AB=\frac{80}{3}, BC=\frac{140}{3}$。
20．（“倍长中线”法应用）$AD$ 是 $\triangle ABC$ 中边 $BC$ 上的中线，若 $AB=5, AC=3$，求 $AD$ 的取值范围。
【参考答案与解析】
解：如图，延长 $AD$ 到 $E$，使 $DE = AD$，连接 $BE$。
在 $\triangle ACD$ 和 $\triangle EBD$ 中，
$CD = BD$ (中线定义)
$\angle ADC = \angle EDB$ (对顶角相等)
$AD = ED$ (构造)
所以 $\triangle ACD \cong \triangle EBD$ (SAS)。
从而得到 $BE = AC = 3$。
在 $\triangle ABE$ 中，根据三角形三边关系：
$AB - BE < AE < AB + BE$
$5 - 3 < 2AD < 5 + 3$
$2 < 2AD < 8$
解得：$1 < AD < 4$。
答：$AD$ 的取值范围是 $1 < AD < 4$。
解：如图，延长 $AD$ 到 $E$，使 $DE = AD$，连接 $BE$。
在 $\triangle ACD$ 和 $\triangle EBD$ 中，
$CD = BD$ (中线定义)
$\angle ADC = \angle EDB$ (对顶角相等)
$AD = ED$ (构造)
所以 $\triangle ACD \cong \triangle EBD$ (SAS)。
从而得到 $BE = AC = 3$。
在 $\triangle ABE$ 中，根据三角形三边关系：
$AB - BE < AE < AB + BE$
$5 - 3 < 2AD < 5 + 3$
$2 < 2AD < 8$
解得：$1 < AD < 4$。
答：$AD$ 的取值范围是 $1 < AD < 4$。
21．如图，在四边形 $ABCD$ 中，$O$ 是对角线 $AC$ 与 $BD$ 的交点，试说明：$AC$ 与 $BD$ 的和小于四边形 $ABCD$ 的周长。
【参考答案与解析】
证明：在 $\triangle ABC$ 中，根据三角形两边之和大于第三边，得：
$AC < AB + BC$ ①
在 $\triangle ADC$ 中，同理可得：
$AC < AD + DC$ ②
将 ① 和 ② 相加得：
$2AC < AB + BC + CD + DA$ ③
同理，在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle BCD$ 中：
$BD < AB + AD$
$BD < BC + CD$
两式相加得：
$2BD < AB + BC + CD + DA$ ④
将 ③ 和 ④ 相加得：
$2(AC + BD) < 2(AB + BC + CD + DA)$
化简得：$AC + BD < AB + BC + CD + DA$。
即 $AC$ 与 $BD$ 的和小于四边形 $ABCD$ 的周长。
证明：在 $\triangle ABC$ 中，根据三角形两边之和大于第三边，得：
$AC < AB + BC$ ①
在 $\triangle ADC$ 中，同理可得：
$AC < AD + DC$ ②
将 ① 和 ② 相加得：
$2AC < AB + BC + CD + DA$ ③
同理，在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle BCD$ 中：
$BD < AB + AD$
$BD < BC + CD$
两式相加得：
$2BD < AB + BC + CD + DA$ ④
将 ③ 和 ④ 相加得：
$2(AC + BD) < 2(AB + BC + CD + DA)$
化简得：$AC + BD < AB + BC + CD + DA$。
即 $AC$ 与 $BD$ 的和小于四边形 $ABCD$ 的周长。
22．如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 是中线，$AE$ 是角平分线，$AF$ 是高。
填空：
(1) $BD = $ $= \frac{1}{2} BC$；
(2) $\angle BAE = $ $= \frac{1}{2} \angle BAC$；
(3) $\angle AFB = \angle AFC = $ $^{\circ}$；
(4) 若 $\angle ABC = 70^{\circ}, \angle C = 30^{\circ}$，则 $\angle BAC =$ $^{\circ}$，$\angle EAF =$ $^{\circ}$。
填空：
(1) $BD = $ $= \frac{1}{2} BC$；
(2) $\angle BAE = $ $= \frac{1}{2} \angle BAC$；
(3) $\angle AFB = \angle AFC = $ $^{\circ}$；
(4) 若 $\angle ABC = 70^{\circ}, \angle C = 30^{\circ}$，则 $\angle BAC =$ $^{\circ}$，$\angle EAF =$ $^{\circ}$。
23．综合与实践：我们知道，三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心。
(1) 若设图3中被分割的三个小三角形面积分别为 $x, y, z$，猜想它们之间的数量关系并证明。
(2) 图4中，$G$ 是重心，$\triangle ADG$ 与 $\triangle ABC$ 的面积之比为多少？
(1) 若设图3中被分割的三个小三角形面积分别为 $x, y, z$，猜想它们之间的数量关系并证明。
(2) 图4中，$G$ 是重心，$\triangle ADG$ 与 $\triangle ABC$ 的面积之比为多少？
【参考答案与解析】
(1) 解：猜想：$x = y = z$。
证明：因为 $AD$ 是中线，所以 $BD = DC$。
$\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 等底同高，所以 $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$。
同理在 $\triangle GBC$ 中，$S_{\triangle GBD} = S_{\triangle GCD}$。
两式相减得：$S_{\triangle ABG} = S_{\triangle ACG}$，即 $y = z$。
同理可证 $x = z$。因此 $x = y = z$。
(2) 解：因为 $G$ 是重心，由 (1) 得 $S_{\triangle ABG} = S_{\triangle BCG} = S_{\triangle ACG} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC}$。
因为 $D$ 是 $AB$ 的中点，所以 $S_{\triangle ADG} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABG} = \frac{1}{6} S_{\triangle ABC}$。
因此面积之比为 $1:6$。
(1) 解：猜想：$x = y = z$。
证明：因为 $AD$ 是中线，所以 $BD = DC$。
$\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 等底同高，所以 $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$。
同理在 $\triangle GBC$ 中，$S_{\triangle GBD} = S_{\triangle GCD}$。
两式相减得：$S_{\triangle ABG} = S_{\triangle ACG}$，即 $y = z$。
同理可证 $x = z$。因此 $x = y = z$。
(2) 解：因为 $G$ 是重心，由 (1) 得 $S_{\triangle ABG} = S_{\triangle BCG} = S_{\triangle ACG} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC}$。
因为 $D$ 是 $AB$ 的中点，所以 $S_{\triangle ADG} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABG} = \frac{1}{6} S_{\triangle ABC}$。
因此面积之比为 $1:6$。
24．在下面的网格图中，每个小正方形的边长为 $1$，$\triangle ABC$ 的三个顶点都在格点上。
(1) 画出 $AB$ 边上的高 $CE$ 和中线 $CH$；
(2) 画出 $BC$ 边上的高 $AF$，并直接写出 $AF$ 的长（提示：$BC$ 的长等于 $5$）。
(1) 画出 $AB$ 边上的高 $CE$ 和中线 $CH$；
(2) 画出 $BC$ 边上的高 $AF$，并直接写出 $AF$ 的长（提示：$BC$ 的长等于 $5$）。
【参考答案与解析】
(1) 解：如图所示，高 $CE$ 和中线 $CH$ 即为所求。
（点 $E$ 在 $AB$ 上坐标对应垂足，点 $H$ 为 $AB$ 中点）。
(2) 解：$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times CE$。
网格中 $AB = 8$，$CE = 2$（纵向高度为2个网格）。
所以 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 2 = 8$。
又因为 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AF$。
已知 $BC = 5$，所以 $\frac{1}{2} \times 5 \times AF = 8$，解得 $AF = \frac{16}{5} = 3.2$。
(1) 解：如图所示，高 $CE$ 和中线 $CH$ 即为所求。
（点 $E$ 在 $AB$ 上坐标对应垂足，点 $H$ 为 $AB$ 中点）。
(2) 解：$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times CE$。
网格中 $AB = 8$，$CE = 2$（纵向高度为2个网格）。
所以 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 2 = 8$。
又因为 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AF$。
已知 $BC = 5$，所以 $\frac{1}{2} \times 5 \times AF = 8$，解得 $AF = \frac{16}{5} = 3.2$。