🌟 14.2 三角形全等的判定 同步练习
一、 单选题 (共12题)
1．如图，点$O$是$\angle B$的边上任意一点．下面是“过点$O$作$OC \parallel BA$”的尺规作图过程：①以点$B$为圆心，适当的长为半径画弧，分别交$BA$，$BC$于点$F$，$E$；②以点$O$为圆心，线段$BE$的长为半径画弧，交$OC$于点$M$；③以点$M$为圆心，线段$EF$的长为半径画弧，交前弧于点$D$，作直线$OD$，则$OD \parallel BA$即为所求．上述方法通过判定$\triangle BFE \cong \triangle OMD$得到$\angle B=\angle MOD$，进而得到$OD \parallel BA$，其中判定$\triangle BFE \cong \triangle OMD$的依据是（ ）
2．如图，点$D$在线段$BC$上．若$\triangle ABC \cong \triangle EBD$，$AB=3$，$BC=5$，$BD=3$，$AB \parallel CE$，则$\angle E$的度数为（ ）
3．如图，下列条件不能证明$\triangle AOB \cong \triangle DOC$的是（ ）
4．尺规作图：作一个角等于已知角。如图①，已知$\angle AOB$，求作$\angle A'O'B'$使$\angle A'O'B' = \angle AOB$。步骤甲、乙、丙所表示的内容为：（ ）
5．如图，已知$AE=AD$，$AB=AC$，$EC=DB$，下列结论：①$\angle C=\angle B$；②$\angle D=\angle E$；③$\angle EAD=\angle BAC$；④$\angle B=\angle E$；其中错误的是（ ）
6．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，通过判定三角形全等可说明。则判定三角形全等的依据是（ ）
7．如图是的正方形网格，以点$D, E$为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与$\triangle ABC$全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
8．如图，线段$AB$是$\odot O$的直径，弦$CD \perp AB$，$BC=OD=2$，$DC$的长等于（ ）
9．如图，$AE$平分$\angle BAC$，$\angle B=\angle C$，$BA, CE$的延长线交于点$D$。若$\angle B=40^{\circ}$，$\angle BAC=100^{\circ}$，则$\angle CDE$的度数是（ ）
10．已知$\triangle ABC$六个元素中 $a, c, \angle B=50^{\circ}, \angle A=72^{\circ}$，则下面甲、乙、丙三个三角形中和$\triangle ABC$全等的是（ ）
11．如图，在$\triangle ABE$与$\triangle BCD$中，$AE \perp BD$于点$E$，$CD \perp BD$于点$D$，$AB=BC$，$AE=BD$，则可判定$\triangle ABE \cong \triangle BCD$的理由是（ ）
12．小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使$AB \perp BC$，$BO=OC$，$CD \perp BC$，点$A、O、D$在同一直线上，就能保证$\triangle ABO \cong \triangle DCO$。在这个问题中，判断$\triangle ABO \cong \triangle DCO$的最佳依据是（ ）
二、 填空题 (共5题)
13．如图，$\triangle ABC$中，$\angle B$的平分线交$AC$于点$P$，过点$P$作$PE \perp AB$，$PF \perp BC$，$PG \perp AC$，垂足分别为$E, F, G$。若$PE=6$，则$PG=$ ．
14．如图，已知$AB=AC, \dots$ 为$\angle A$的角平分线上三点，连接$\dots$，依此规律，第 $n$ 个图形中有全等三角形的对数是 ．
15．如图所示，$\angle 1=\angle 2$，$\angle C=\angle D$．可利用 来判定$\triangle ABC \cong \triangle ABD$。
16．如图，点$A$在$BE$上，$AD=CE$，$AB=AC$，$BD=AE$，$\angle 2=30^{\circ}$，则$\angle C$的度数为 $^{\circ}$ ．
17．如图，$AP \perp BC$于$P$，$AP=DP$，添加下列一个条件，能利用“AAS”判定$\triangle APB \cong \triangle DPC$ 的条件是 ．
三、 解答题 (共7题)
18．如图，$AB=BC$，$AD=CD$，点$D$是$AC$上一点，$DE \perp AB$于$E$，$DF \perp BC$于$F$，$\angle EAD=\angle FCD$，求证：$AE=CF$。
【解答证明】
证明：连接 $BD$，
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CBD$ 中，
$AB=BC$, $AD=CD$, $BD=BD$ (公共边)
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle CBD$ (SSS)
$\therefore \angle A = \angle C$
$\because DE \perp AB, DF \perp BC$
$\therefore \angle AED = \angle CFD = 90^{\circ}$
在 $\triangle AED$ 和 $\triangle CFD$ 中，
$\angle A=\angle C$, $\angle AED=\angle CFD$, $AD=CD$
$\therefore \triangle AED \cong \triangle CFD$ (AAS)
$\therefore AE=CF$。
证明：连接 $BD$，
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CBD$ 中，
$AB=BC$, $AD=CD$, $BD=BD$ (公共边)
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle CBD$ (SSS)
$\therefore \angle A = \angle C$
$\because DE \perp AB, DF \perp BC$
$\therefore \angle AED = \angle CFD = 90^{\circ}$
在 $\triangle AED$ 和 $\triangle CFD$ 中，
$\angle A=\angle C$, $\angle AED=\angle CFD$, $AD=CD$
$\therefore \triangle AED \cong \triangle CFD$ (AAS)
$\therefore AE=CF$。
19．【背景】如图，下列条件中，不能判定$\triangle ABC \cong \triangle ADC$的是（A. $AB=AD, BC=DC$ 等等）
【思考】请判断以上题目有没有答案，若找不到题目的答案，即四个选项都能保证$\triangle ABC \cong \triangle ADC$，那么请从A、B、C、D四个选项中任选一个作为已知条件，证明$\triangle ABC \cong \triangle ADC$。
【思考】请判断以上题目有没有答案，若找不到题目的答案，即四个选项都能保证$\triangle ABC \cong \triangle ADC$，那么请从A、B、C、D四个选项中任选一个作为已知条件，证明$\triangle ABC \cong \triangle ADC$。
【解答】
解：没有答案，原题四个选项均可判定全等。
任选一种证明（例如选取 $AB=AD, \angle B=\angle D=90^{\circ}$ 即 HL 定理，或 SAS，AAS，SSS）。
证明示范：选取 $AB=AD, BC=DC$：
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$ 中，
$\because AB=AD, BC=DC, AC=AC$
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle ADC$ (SSS)。
解：没有答案，原题四个选项均可判定全等。
任选一种证明（例如选取 $AB=AD, \angle B=\angle D=90^{\circ}$ 即 HL 定理，或 SAS，AAS，SSS）。
证明示范：选取 $AB=AD, BC=DC$：
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$ 中，
$\because AB=AD, BC=DC, AC=AC$
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle ADC$ (SSS)。
20．尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。
已知：$\angle \alpha, \angle \beta$，线段$c$。
求作：$\triangle ABC$，使得$\angle A=\angle \alpha, \angle B=\angle \beta, AB=c$。（保留作图痕迹）
已知：$\angle \alpha, \angle \beta$，线段$c$。
求作：$\triangle ABC$，使得$\angle A=\angle \alpha, \angle B=\angle \beta, AB=c$。（保留作图痕迹）
【解答】
解：如图所示即为所求：
1. 作一条射线，截取 $AB=c$。
2. 分别以 $A, B$ 为顶点，作 $\angle A=\angle \alpha$ 和 $\angle B=\angle \beta$。
3. 两角的另一边交于点 $C$。
$\triangle ABC$ 即为所求作的三角形。（符合 ASA 全等判定的唯一性）。
解：如图所示即为所求：
1. 作一条射线，截取 $AB=c$。
2. 分别以 $A, B$ 为顶点，作 $\angle A=\angle \alpha$ 和 $\angle B=\angle \beta$。
3. 两角的另一边交于点 $C$。
$\triangle ABC$ 即为所求作的三角形。（符合 ASA 全等判定的唯一性）。
21．沿$AC$方向开山修路，为了加快施工进度，要在另一面$E$处同时施工。工人师傅在$AC$上取一点$B$，小山外取一点$D$，连接$BD$延长至$F$使$DF=BD$，连接$ED$延长至$M$使$DM=ED$，连接$MF$。说明测量$FM$长即为$BE$长的道理。
【解答】
解：在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle FDM$ 中，
$\because BD=FD$ (已知)，
$\angle BDE=\angle FDM$ (对顶角相等)，
$ED=MD$ (已知)，
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle FDM$ (SAS)
$\therefore BE=FM$ (全等三角形的对应边相等)。
因此，通过测量 $FM$ 的长度，即可知道由于小山阻隔无法直接测量的 $BE$ 的长度。
解：在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle FDM$ 中，
$\because BD=FD$ (已知)，
$\angle BDE=\angle FDM$ (对顶角相等)，
$ED=MD$ (已知)，
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle FDM$ (SAS)
$\therefore BE=FM$ (全等三角形的对应边相等)。
因此，通过测量 $FM$ 的长度，即可知道由于小山阻隔无法直接测量的 $BE$ 的长度。
22．已知 $\triangle ABC$。
(1) 根据“AAS”作$\triangle CBD$，使$\triangle CBD \cong \triangle CAB$。
(2) 若$\angle A=30^{\circ}$，$\angle C$比$\angle B$的2倍小$15^{\circ}$，求$\angle CDB$的度数。
(1) 根据“AAS”作$\triangle CBD$，使$\triangle CBD \cong \triangle CAB$。
(2) 若$\angle A=30^{\circ}$，$\angle C$比$\angle B$的2倍小$15^{\circ}$，求$\angle CDB$的度数。
【解答】
(1) 解：尺规作图略。以 $BC$ 为公共边，作 $\angle DCB=\angle A$，$\angle CDB=\angle B$ 或类似条件即可得出全等。
(2) 解：设 $\angle B = x^{\circ}$，则 $\angle C = 2x - 15^{\circ}$。
$\because \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$
$\therefore 30 + x + 2x - 15 = 180$
$3x = 165 \implies x = 55$
$\therefore \angle B = 55^{\circ}$。
由 (1) 知 $\triangle CBD \cong \triangle CAB$，
$\therefore \angle CDB = \angle B = $ $55^{\circ}$。
(1) 解：尺规作图略。以 $BC$ 为公共边，作 $\angle DCB=\angle A$，$\angle CDB=\angle B$ 或类似条件即可得出全等。
(2) 解：设 $\angle B = x^{\circ}$，则 $\angle C = 2x - 15^{\circ}$。
$\because \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$
$\therefore 30 + x + 2x - 15 = 180$
$3x = 165 \implies x = 55$
$\therefore \angle B = 55^{\circ}$。
由 (1) 知 $\triangle CBD \cong \triangle CAB$，
$\therefore \angle CDB = \angle B = $ $55^{\circ}$。
23．如图，在平面直角坐标系中，已知$A(-4,0), C(2,0)$，$B$在$y$轴上，$\angle ABC=90^{\circ}$。在第一象限作$\triangle BCP$，使$\triangle BCP \cong \triangle BCA$。
(1) 求$B$点坐标。
(2) 连接$AP$，求证：$AP \perp BC$。
(1) 求$B$点坐标。
(2) 连接$AP$，求证：$AP \perp BC$。
【解答】
(1) 解：作 $BE \perp y$ 轴等辅助线，易证 $\triangle AOB \sim \triangle BOC$。
$OB^2 = OA \cdot OC = 4 \times 2 = 8$，因为 $B$ 在 $y$ 轴正半轴，所以 $OB = 2\sqrt{2}$。
$\therefore$ 点 $B$ 坐标为 $(0, 2\sqrt{2})$。
(2) 证明：$\because \triangle BCP \cong \triangle BCA$
$\therefore \angle CBP = \angle CBA = 90^{\circ}$，且 $BP=BA$。
通过连接 $AP$，交 $y$ 轴，可证明其组成的三角形全等，进而利用全等三角形对应角相加等于 $90^{\circ}$ 的关系，得出 $AP \perp BC$。
(1) 解：作 $BE \perp y$ 轴等辅助线，易证 $\triangle AOB \sim \triangle BOC$。
$OB^2 = OA \cdot OC = 4 \times 2 = 8$，因为 $B$ 在 $y$ 轴正半轴，所以 $OB = 2\sqrt{2}$。
$\therefore$ 点 $B$ 坐标为 $(0, 2\sqrt{2})$。
(2) 证明：$\because \triangle BCP \cong \triangle BCA$
$\therefore \angle CBP = \angle CBA = 90^{\circ}$，且 $BP=BA$。
通过连接 $AP$，交 $y$ 轴，可证明其组成的三角形全等，进而利用全等三角形对应角相加等于 $90^{\circ}$ 的关系，得出 $AP \perp BC$。
24．已知如图，$A, E, F, D$在一直线上，$\dots$，求证：$AF$与$ED$互相平分。
【解答证明】
证明：$\because AB \parallel CD$
$\therefore \angle BAE = \angle CDF$
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle DCF$ 中，
通过平行和已知等边条件，可证 $\triangle ABE \cong \triangle DCF$ (SAS 或 ASA)。
$\therefore AE=DF$
等量代加后，得出中间交点构成的两对顶三角形全等，进而得出对角线互相平分。
证明：$\because AB \parallel CD$
$\therefore \angle BAE = \angle CDF$
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle DCF$ 中，
通过平行和已知等边条件，可证 $\triangle ABE \cong \triangle DCF$ (SAS 或 ASA)。
$\therefore AE=DF$
等量代加后，得出中间交点构成的两对顶三角形全等，进而得出对角线互相平分。