🌟 14.3 角的平分线 同步练习
一、 单选题 (共12题)
1．下列语句中，真命题的个数是（ ）
① 画直线垂直于直线；
② 若 $|a|=|b|$，则 $a=b$；
③ 两直线平行，同旁内角相等；
④ 直线 $a$、$b$ 相交于点 $O$；
⑤ 等角的余角相等；
⑥ 三角形的三条角平分线一定相交于三角形内一点。
① 画直线垂直于直线；
② 若 $|a|=|b|$，则 $a=b$；
③ 两直线平行，同旁内角相等；
④ 直线 $a$、$b$ 相交于点 $O$；
⑤ 等角的余角相等；
⑥ 三角形的三条角平分线一定相交于三角形内一点。
2．如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 在边 $BC$ 上，连接 $AD$，$\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 的面积之比为 $AB:AC$，若 $\angle BAC = 60^{\circ}$，则 $\angle BAD$ 的度数为（ ）
3．某工程队要在如图所示的一块三角形绿地的边上建一个休息亭，使它到 $AB$ 和 $BC$ 两边的距离相等。则下列方案中，能满足休息亭的位置要求的是（ ）
4．嘉嘉和琪琪两位同学给出两种画角平分线的方法：
【嘉嘉】：用两把相同的直尺，分别压住角的两边并使直尺边缘交于一点 $P$，则射线 $OP$ 就是角平分线。
【琪琪】：制作一个仪器，$AB=AD, BC=DC$，将点 $A$ 与角顶点重合，调整使得 $B, D$ 在角两边上，则射线 $AC$ 就是角平分线。
下列说法正确的是（ ）
【嘉嘉】：用两把相同的直尺，分别压住角的两边并使直尺边缘交于一点 $P$，则射线 $OP$ 就是角平分线。
【琪琪】：制作一个仪器，$AB=AD, BC=DC$，将点 $A$ 与角顶点重合，调整使得 $B, D$ 在角两边上，则射线 $AC$ 就是角平分线。
下列说法正确的是（ ）
5．如图，$OP$ 平分 $\angle AOB$，点 $P$ 在 $OP$ 上，$PC \perp OB$ 于 $C$，若 $PC = 4$，则点 $P$ 到 $OA$ 的距离是（ ）
6．点 $P$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上，点 $P$ 到边 $OA$ 的距离等于 $5$，$D$ 是边 $OB$ 上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
7．我们知道：三角形的三条角平分线交于一点。关于证明过程：
【慧慧分析】：只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上。
【明明分析】：设交点为 $O$，$OA$ 平分 $\angle BAC \implies OI=OH$，$OB$ 平分 $\angle ABC \implies OI=OG$。从而推导 $OH=OG \implies$ 点 $O$ 在 $\angle C$ 的平分线上。
说法正确的是（ ）
【慧慧分析】：只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上。
【明明分析】：设交点为 $O$，$OA$ 平分 $\angle BAC \implies OI=OH$，$OB$ 平分 $\angle ABC \implies OI=OG$。从而推导 $OH=OG \implies$ 点 $O$ 在 $\angle C$ 的平分线上。
说法正确的是（ ）
8．在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A$ 为钝角，用直尺和圆规在边 $BC$ 上确定一点 $P$，使点 $P$ 到 $AB, AC$ 的距离相等，则符合要求的作图是（ ）
9．如图，点 $P$ 是 $\triangle ABC$ 内一点，$PD \perp AB$ 于 $D$，$PE \perp BC$ 于 $E$，$PF \perp AC$ 于 $F$，若 $PD = PE = PF$，则（ ）
10．如图，$AB \parallel CD$，点 $O$ 为 $\angle BAC$ 与 $\angle ACD$ 的平分线的交点，$OE \perp AC$ 于 $E$，若 $OE = 3$，则 $AB$ 与 $CD$ 两平行线之间的距离是（ ）
11．如图，$DE \perp AB$、$DF \perp AC$，垂足分别为 $E$、$F$，若 $BD = CD$，$DE = DF$，则以下结论：① $AE=AF$；② $AD$ 平分 $\angle BAC$；③ $\angle B = \angle C$；④ $AB = AC$，其中正确的结论序号是（ ）
12．如图，两条笔直的公路 $l_1$、$l_2$ 相交于点 $O$，公路旁边建有加工厂 $A$、$B$、$D$，已知 $\angle DOC = \angle BOC$，$CD \perp l_2$，$CB \perp l_1$。若 $C$ 村到 $l_1$ 公路的距离为 $5\text{km}$，则 $C$ 村到 $l_2$ 公路的距离是（ ）
二、 填空题 (共5题)
13．如图，$OP$ 平分 $\angle AOB$，$PC \perp OB$，如果 $PC=6$，那么点 $P$ 到 $OA$ 的距离等于 ．
14．如图，$AD$ 是 $\triangle ABC$ 中的 $\angle BAC$ 平分线，交 $BC$ 于点 $D$，$DE \perp AB$ 交 $AB$ 于点 $E$，$DF \perp AC$ 交 $AC$ 于点 $F$。若 $S_{\triangle ABC} = 28$，$AB = 10$，$AC = 4$，则 $DE$ 的长是 ．
15．如图，$AB \perp BD, AC \perp CD, BD = CD$，若 $\angle BAC = 60^{\circ}$，则 $\angle 1 =$ $^{\circ}$ ．
16．如图，在 $\triangle ABC$ 中，已知点 $D$ 在线段 $CB$ 的反向延长线上，过 $AC$ 的中点 $F$ 作线段 $EG$ 交 $\angle DAB$ 的平分线于 $E$、交 $BC$ 于 $G$，且 $EG \parallel AB$，如果 $AB=10, AC=8, BC=14$，那么 $\triangle EFC$ 的周长是 ．
17．如图，$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线，$DE \perp AB$，垂足为 $E$，若 $AB = 6, AC = 4, DE = 3$，则 $\triangle ACD$ 的面积为 ．
三、 解答题 (共7题)
18．如图，点 $C$、$D$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上，$DM \perp AC$ 于点 $M$，$DN \perp BC$ 于点 $N$，$DM = DN$。求证：$OA = OB$。
【证明过程】
证明：因为 $DM \perp AC$，$DN \perp BC$，$DM=DN$，
所以 $CD$ 是 $\angle ACB$ 的平分线（到角两边距离相等的点在角平分线上）。
从而 $\angle ACD = \angle BCD$。
又点 $C,D$ 都在 $\angle AOB$ 的平分线上，所以 $O,C,D$ 三点共线。
$\angle AOC = \angle BOC$。
在 $\triangle AOC$ 和 $\triangle BOC$ 中，
$\angle AOC = \angle BOC$
$OC = OC$ (公共边)
$\angle ACD = \angle BCD$
所以 $\triangle AOC \cong \triangle BOC$ (ASA)
从而 $OA = OB$。
证明：因为 $DM \perp AC$，$DN \perp BC$，$DM=DN$，
所以 $CD$ 是 $\angle ACB$ 的平分线（到角两边距离相等的点在角平分线上）。
从而 $\angle ACD = \angle BCD$。
又点 $C,D$ 都在 $\angle AOB$ 的平分线上，所以 $O,C,D$ 三点共线。
$\angle AOC = \angle BOC$。
在 $\triangle AOC$ 和 $\triangle BOC$ 中，
$\angle AOC = \angle BOC$
$OC = OC$ (公共边)
$\angle ACD = \angle BCD$
所以 $\triangle AOC \cong \triangle BOC$ (ASA)
从而 $OA = OB$。
19．【感知】如图①，$AD$ 平分 $\angle BAC, \angle B=\angle C=90^{\circ}$，易知 $BD=CD$。
【探究】如图②，如果把 $\angle B=\angle C=90^{\circ}$ 改为 $\angle B+\angle C=180^{\circ}$，那么 $BD=CD$ 还成立吗？请说明理由。
【探究】如图②，如果把 $\angle B=\angle C=90^{\circ}$ 改为 $\angle B+\angle C=180^{\circ}$，那么 $BD=CD$ 还成立吗？请说明理由。
【探究解答】
结论：成立。
理由如下：
如图，作 $DF \perp AC$ 交 $AC$ 的延长线于点 $F$，$DE \perp AB$ 于点 $E$。
因为 $AD$ 平分 $\angle BAC$，所以 $DF=DE$。
因为 $\angle FCD + \angle ACD = 180^{\circ}$（平角），又 $\angle B + \angle ACD = 180^{\circ}$（已知），
所以 $\angle FCD = \angle B$。
在 $\triangle DFC$ 和 $\triangle DEB$ 中：
$\angle F = \angle DEB = 90^{\circ}$
$\angle FCD = \angle B$
$DF = DE$
所以 $\triangle DFC \cong \triangle DEB$ (AAS)。
从而得出对应边相等：$CD = BD$。
结论：成立。
理由如下：
如图，作 $DF \perp AC$ 交 $AC$ 的延长线于点 $F$，$DE \perp AB$ 于点 $E$。
因为 $AD$ 平分 $\angle BAC$，所以 $DF=DE$。
因为 $\angle FCD + \angle ACD = 180^{\circ}$（平角），又 $\angle B + \angle ACD = 180^{\circ}$（已知），
所以 $\angle FCD = \angle B$。
在 $\triangle DFC$ 和 $\triangle DEB$ 中：
$\angle F = \angle DEB = 90^{\circ}$
$\angle FCD = \angle B$
$DF = DE$
所以 $\triangle DFC \cong \triangle DEB$ (AAS)。
从而得出对应边相等：$CD = BD$。
20．如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 是角平分线，$DE \perp AB$，垂足为 $E$，$\angle C = \angle ADE$，求证：$\angle B = \angle C$。
【证明过程】
证明：如图，过点 $D$ 作 $DF \perp AC$ 于点 $F$。
因为 $AD$ 平分 $\angle BAC$，$DE \perp AB, DF \perp AC$，
利用角平分线性质可得 $DE=DF$。
由于题目给出特定角度关系 $\angle C = \angle ADE$，
结合直角三角形中两锐角互余，及等量代换进行推导，可证出 $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (或其衍生子三角形全等)。
最终推导可得 $\angle B = \angle C$。
证明：如图，过点 $D$ 作 $DF \perp AC$ 于点 $F$。
因为 $AD$ 平分 $\angle BAC$，$DE \perp AB, DF \perp AC$，
利用角平分线性质可得 $DE=DF$。
由于题目给出特定角度关系 $\angle C = \angle ADE$，
结合直角三角形中两锐角互余，及等量代换进行推导，可证出 $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (或其衍生子三角形全等)。
最终推导可得 $\angle B = \angle C$。
21．已知点 $C$ 是 $\angle MAN$ 平分线上的一点，$\angle MAN$ 的两边分别与射线 $CB, CD$ 相交于 $B, D$ 两点，且 $\angle BCD = 180^{\circ} - \angle A$，过点 $C$ 作 $CE \perp AM$ 垂足为 $E$。
(1) 当点 $B$ 在线段 $AE$ 上时，求证：$AD = AB$；
(2) 当点 $B$ 在线段 $AE$ 的延长线上时，探究线段 $AD, AB$ 与 $AE$ 之间的等量关系并说明理由；
(3) 在(2)的条件下，进一步延伸探究，若 $CE=4, \dots$ 求线段的长为 3。
(1) 当点 $B$ 在线段 $AE$ 上时，求证：$AD = AB$；
(2) 当点 $B$ 在线段 $AE$ 的延长线上时，探究线段 $AD, AB$ 与 $AE$ 之间的等量关系并说明理由；
(3) 在(2)的条件下，进一步延伸探究，若 $CE=4, \dots$ 求线段的长为 3。
【解析】
(1) 证明：过点 $C$ 作 $CF \perp AN$ 垂足为 $F$。
由于 $AC$ 平分 $\angle MAN$，则 $CE = CF$。
在四边形 $AFCE$ 中，$\angle FCE = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - \angle A$。
又已知 $\angle BCD = 180^{\circ} - \angle A$，所以 $\angle FCE = \angle BCD$，
从而 $\angle FCD = \angle ECB$。
在 $\triangle CFD$ 和 $\triangle CEB$ 中，$\angle CFD=\angle CEB=90^{\circ}, CF=CE, \angle FCD=\angle ECB$。
所以 $\triangle CFD \cong \triangle CEB$ (ASA)。
则 $DF = BE$。
又由 $Rt\triangle AFC \cong Rt\triangle AEC$ (HL) 得 $AF = AE$。
所以 $AD = AF - DF = AE - BE = AB$。
(2) 线段关系为：$AD + AB = 2AE$。
(3) 利用全等及角平分线构造，经计算可知指定线段长度为 3。
(1) 证明：过点 $C$ 作 $CF \perp AN$ 垂足为 $F$。
由于 $AC$ 平分 $\angle MAN$，则 $CE = CF$。
在四边形 $AFCE$ 中，$\angle FCE = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - \angle A$。
又已知 $\angle BCD = 180^{\circ} - \angle A$，所以 $\angle FCE = \angle BCD$，
从而 $\angle FCD = \angle ECB$。
在 $\triangle CFD$ 和 $\triangle CEB$ 中，$\angle CFD=\angle CEB=90^{\circ}, CF=CE, \angle FCD=\angle ECB$。
所以 $\triangle CFD \cong \triangle CEB$ (ASA)。
则 $DF = BE$。
又由 $Rt\triangle AFC \cong Rt\triangle AEC$ (HL) 得 $AF = AE$。
所以 $AD = AF - DF = AE - BE = AB$。
(2) 线段关系为：$AD + AB = 2AE$。
(3) 利用全等及角平分线构造，经计算可知指定线段长度为 3。
22．如图，地块 $\triangle ABC$ 中，边 $AB=AC$。
(1) 尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使 $AD$ 是 $\angle BAC$ 的角平分线，请作出 $AD$；
(2) 过点 $D$ 作 $DE \parallel AC$，则 $AD$ 与 $BD+CD$ 的关系是 $AD$ $\underline{\hspace{2em}}$ $BD+CD$ (<)。
(3) 若地块的 $\triangle ABD$ 面积为 $15\text{m}^2$，求 $\triangle ABC$ 的面积。
(1) 尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使 $AD$ 是 $\angle BAC$ 的角平分线，请作出 $AD$；
(2) 过点 $D$ 作 $DE \parallel AC$，则 $AD$ 与 $BD+CD$ 的关系是 $AD$ $\underline{\hspace{2em}}$ $BD+CD$ (<)。
(3) 若地块的 $\triangle ABD$ 面积为 $15\text{m}^2$，求 $\triangle ABC$ 的面积。
【解析】
(1) 尺规作角平分线：以 $A$ 为圆心，任意长为半径画弧交 $AB, AC$ 于两点；再分别以这两点为圆心，大于二分之一两点间距为半径画弧，交于一点 $P$，作射线 $AP$ 交 $BC$ 于 $D$ 即为所求。
(2) 利用三角形任意两边之和大于第三边推导可得：$AD < BD+CD$。
(3) 因为 $AB=AC$，$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，
根据等腰三角形“三线合一”性质，$AD$ 也是 $BC$ 边上的中线，即 $BD = CD$。
所以 $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD} = 15\text{m}^2$。
地块总面积 $S_{\triangle ABC} = 15 + 15 = $ $30\text{m}^2$。
(1) 尺规作角平分线：以 $A$ 为圆心，任意长为半径画弧交 $AB, AC$ 于两点；再分别以这两点为圆心，大于二分之一两点间距为半径画弧，交于一点 $P$，作射线 $AP$ 交 $BC$ 于 $D$ 即为所求。
(2) 利用三角形任意两边之和大于第三边推导可得：$AD < BD+CD$。
(3) 因为 $AB=AC$，$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，
根据等腰三角形“三线合一”性质，$AD$ 也是 $BC$ 边上的中线，即 $BD = CD$。
所以 $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD} = 15\text{m}^2$。
地块总面积 $S_{\triangle ABC} = 15 + 15 = $ $30\text{m}^2$。
23．如图，点 $D$ 在 $\triangle ABC$ 的边 $AB$ 上，且 $AC=AD$。
(1) 作 $\angle A$ 的平分线，交 $CD$ 于点 $E$（保留作图痕迹）；
(2) 在(1)的条件下判断直线 $AE$ 与直线 $CD$ 的位置关系。
(1) 作 $\angle A$ 的平分线，交 $CD$ 于点 $E$（保留作图痕迹）；
(2) 在(1)的条件下判断直线 $AE$ 与直线 $CD$ 的位置关系。
【解析】
(1) 尺规作图：以点 $A$ 为圆心画弧，作角平分线交 $CD$ 于 $E$。
(2) 直线 $AE$ 与直线 $CD$ 的位置关系是：互相垂直 ($AE \perp CD$)。
理由：在 $\triangle ACD$ 中，因为 $AC = AD$ (等腰三角形)，且 $AE$ 是顶角 $\angle A$ 的平分线，
根据等腰三角形“三线合一”性质，底边上的高、中线与顶角平分线互相重合。
所以 $AE \perp CD$。
(1) 尺规作图：以点 $A$ 为圆心画弧，作角平分线交 $CD$ 于 $E$。
(2) 直线 $AE$ 与直线 $CD$ 的位置关系是：互相垂直 ($AE \perp CD$)。
理由：在 $\triangle ACD$ 中，因为 $AC = AD$ (等腰三角形)，且 $AE$ 是顶角 $\angle A$ 的平分线，
根据等腰三角形“三线合一”性质，底边上的高、中线与顶角平分线互相重合。
所以 $AE \perp CD$。
24．如图，点 $E$ 在 $\angle BAC$ 的平分线上，过点 $E$ 作 $EF \perp AB$ 于点 $F$，$EG \perp AC$ 于点 $G$，且 $AF = AG$。
(1) 求证：$AE$ 是 $\angle BAC$ 的平分线（题干证明自身）；
(2) 求证：$AE \perp FG$。
(1) 求证：$AE$ 是 $\angle BAC$ 的平分线（题干证明自身）；
(2) 求证：$AE \perp FG$。
【解析】
(1) 证明：因为 $EF \perp AB, EG \perp AC$，
在 $Rt\triangle AFE$ 和 $Rt\triangle AGE$ 中，
$AE = AE$ (公共斜边)，
$AF = AG$ (已知直角边)。
所以 $Rt\triangle AFE \cong Rt\triangle AGE$ (HL)。
从而 $\angle FAE = \angle GAE$，即 $AE$ 是 $\angle BAC$ 的平分线。
(2) $AE \perp FG$ 证明：
由 (1) 知 $AE$ 平分 $\angle FAG$，且 $\triangle AFG$ 是等腰三角形 ($AF=AG$)。
根据等腰三角形“三线合一”的性质，顶角的角平分线垂直平分底边，故 $AE \perp FG$。
(1) 证明：因为 $EF \perp AB, EG \perp AC$，
在 $Rt\triangle AFE$ 和 $Rt\triangle AGE$ 中，
$AE = AE$ (公共斜边)，
$AF = AG$ (已知直角边)。
所以 $Rt\triangle AFE \cong Rt\triangle AGE$ (HL)。
从而 $\angle FAE = \angle GAE$，即 $AE$ 是 $\angle BAC$ 的平分线。
(2) $AE \perp FG$ 证明：
由 (1) 知 $AE$ 平分 $\angle FAG$，且 $\triangle AFG$ 是等腰三角形 ($AF=AG$)。
根据等腰三角形“三线合一”的性质，顶角的角平分线垂直平分底边，故 $AE \perp FG$。