🌟 第十五章图形的轴对称 随堂同步练习
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一、 单选题 (1-12)
1．已知平面直角坐标系中，点 $P$ 为直线 $y=-x$ 上的动点，点 $A(2, 0)$，设 $OP+PA$ 的最小值为 $t$．则随着 $k$ 值的变化（注：此处题目疑有笔误，$k$值可能指原直线方程为 $y=kx$，但题干明确给出了 $y=-x$；或者是指改变 $A$ 点位置，不管怎样，原题意是求给定条件下的最短路径及其相关最大值，根据解析意图：当直线与线段没有交点时，点在优弧上运动...），$t$ 的值不可能等于（ ）
2．下列人工智能图标中，是轴对称图形的是（ ）
3．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
4．如图，下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的有（ ）
5．下列定理有逆定理的是（ ）
6．尺规作图，要求：
Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；
Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；
Ⅳ、作角平分线。
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图，则正确的配对是（ ）
Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；
Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；
Ⅳ、作角平分线。
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图，则正确的配对是（ ）
7．在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=30^{\circ}, \angle A=70^{\circ}$，作图痕迹如图所示，则 $\angle 1$ = （ ）
8．下列命题的逆命题成立的是（ ）
9．如图，在锐角三角形 $\triangle ABC$ 中，$AB=6, \triangle ABC$的面积为 $18$，$AD$ 平分 $\angle BAC$，若 $E, F$ 分别是 $AD, BC$ 上的动点，则 $BE+EF$ 的最小值为（ ）
10．如图，$\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 关于直线 $l$ 对称，连接 $AA', BB', CC'$，其中 $BB', CC'$ 分别交 $l$ 于点 $D, D'$。下列结论：
① $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$；
② $CD=C'D'$；
③ 直线 $l$ 垂直平分 $AA'$；
④ 直线 $AB$ 与 $A'B'$ 的交点不一定在直线 $l$ 上。
其中正确的个数有（ ）
① $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$；
② $CD=C'D'$；
③ 直线 $l$ 垂直平分 $AA'$；
④ 直线 $AB$ 与 $A'B'$ 的交点不一定在直线 $l$ 上。
其中正确的个数有（ ）
11．如图，已知线段 $AB=5$，分别以点 $A$ 和点 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}AB$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $C, D$ 两点，作直线 $CD$ 交 $AB$ 于点 $E$，在直线 $CD$ 上任取一点 $F$，连接 $FA, FB$。若 $FA=5$，则 $FB$ 的长为（ ）
12．如图，在 $\triangle ABC$ 中，边 $AB$ 的垂直平分线分别交边 $AC, AB$ 于点 $F, E$，过点 $A$ 作 $AD \perp BC$，垂足为点 $D$，且点 $E$ 为线段 $BD$ 的中点，连接 $BF$。若 $FC=8, \triangle ABF$ 的周长为 $14$，则 $AC$ 的长为（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．如图，$DE$ 垂直平分线段 $AB$ 于点 $E$，$DF$ 垂直平分线段 $BC$ 于点 $F$。若 $AD=6$，则 $CD =$ ．
14．如图所示的美丽图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 个．
15．如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D, E$ 分别是边 $AB, BC$ 上的点，连接 $DE$，将 $\triangle BDE$ 沿 $DE$ 翻折得到 $\triangle FDE$，点 $B$ 的对称点 $F$ 恰好落在边 $AC$ 上，若以点 $C, E, F$ 为顶点的三角形与 $\triangle ABC$ 相似，则 $\frac{CE}{AB}$ 的长为 ．
16．如图，$\triangle ABC$ 与 $\triangle PFC$ 关于直线 $TC$ 对称，$\angle A=30^{\circ}$，延长 $AP$ 交 $BC$ 于点 $F$（图中交点未完全对应），当 $\angle P =$ $^{\circ}$ 时，$AF \perp BC$．
17．如图，在 $\triangle ABC$ 中，已知点 $O$ 是边 $AB, AC$ 垂直平分线的交点，点 $E$ 是 $\angle ABC, \angle ACB$ 角平分线的交点，若 $\angle O + \angle E = 180^{\circ}$，则 $\angle A =$ 度．
三、 解答题 (18-24)
18．如图，物流超市 $A, B$ 在街道 $m$ 和 $n$ 之间，某物流公司计划修建一个物流中转站 $Q$，要求中转站到物流超市 $A, B$ 的距离相等，且到街道 $m$ 和 $n$ 的距离也相等，请简述尺规作出中转站 $Q$ 的具体位置的方法。
【参考答案与解析】
解：
1. 因为中转站 $Q$ 到超市 $A, B$ 的距离相等，所以 $Q$ 点在线段 $AB$ 的垂直平分线上；
2. 因为中转站 $Q$ 到街道 $m, n$ 的距离相等，所以 $Q$ 点在街道 $m, n$ 夹角的角平分线上；
3. 作线段 $AB$ 的垂直平分线与角平分线相交，交点即为所求的中转站 $Q$ 的位置。
解：
1. 因为中转站 $Q$ 到超市 $A, B$ 的距离相等，所以 $Q$ 点在线段 $AB$ 的垂直平分线上；
2. 因为中转站 $Q$ 到街道 $m, n$ 的距离相等，所以 $Q$ 点在街道 $m, n$ 夹角的角平分线上；
3. 作线段 $AB$ 的垂直平分线与角平分线相交，交点即为所求的中转站 $Q$ 的位置。
19．如图所示，村庄 $A, B$ 分别在笔直公路 $l$ 的两侧。一辆汽车在公路 $l$ 上行驶，汽车在什么位置时到 $A, B$ 两村庄的距离相等？请说明理由。
【参考答案与解析】
解：汽车所在位置应该是线段 $AB$ 的垂直平分线与公路 $l$ 的交点 $C$。
理由：连接 $AB$，作线段 $AB$ 的垂直平分线，交直线 $l$ 于点 $C$。
根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的性质，点 $C$ 到 $A, B$ 两村庄的距离相等，即 $CA = CB$。
解：汽车所在位置应该是线段 $AB$ 的垂直平分线与公路 $l$ 的交点 $C$。
理由：连接 $AB$，作线段 $AB$ 的垂直平分线，交直线 $l$ 于点 $C$。
根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的性质，点 $C$ 到 $A, B$ 两村庄的距离相等，即 $CA = CB$。
20．项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具。通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律。
(1) 当“镜子门”张角的大小为 $90^{\circ}$ 时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的 _____ 个小球（即像的个数）。
(2) 当“镜子门”张角的大小为 $60^{\circ}$ 时，所成完整像的个数为 _____。
(3) 当“镜子门”张角的大小为 $\frac{360^{\circ}}{n}$ 时（$n$为整数），所成完整像的个数为 _____（用含 $n$ 的式子表示）。
(1) 当“镜子门”张角的大小为 $90^{\circ}$ 时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的 _____ 个小球（即像的个数）。
(2) 当“镜子门”张角的大小为 $60^{\circ}$ 时，所成完整像的个数为 _____。
(3) 当“镜子门”张角的大小为 $\frac{360^{\circ}}{n}$ 时（$n$为整数），所成完整像的个数为 _____（用含 $n$ 的式子表示）。
【参考答案与解析】
解：(1) 当角度为 $90^{\circ}$ 时，空间被分为 $\frac{360}{90} = 4$ 份，除去实物本身占 1 份，像的个数为 $4 - 1 = $ $3$。
(2) 当角度为 $60^{\circ}$ 时，空间被分为 $\frac{360}{60} = 6$ 份，像的个数为 $6 - 1 = $ $5$。
(3) 由上述规律可知，当张角为 $\frac{360^{\circ}}{n}$ 时，像的个数为 $n - 1$。
解：(1) 当角度为 $90^{\circ}$ 时，空间被分为 $\frac{360}{90} = 4$ 份，除去实物本身占 1 份，像的个数为 $4 - 1 = $ $3$。
(2) 当角度为 $60^{\circ}$ 时，空间被分为 $\frac{360}{60} = 6$ 份，像的个数为 $6 - 1 = $ $5$。
(3) 由上述规律可知，当张角为 $\frac{360^{\circ}}{n}$ 时，像的个数为 $n - 1$。
21．已知：在 $\triangle ABC$ 中，剪去或折叠一个角，探讨剩余角的关系。
(1) 如图，为直角三角形 $\triangle ABC$，$\angle A=90^{\circ}$，若沿图中虚线剪去 $\angle A$，变成四边形，则 $\angle 1 + \angle 2 = $ ________。
(2) 若 $\angle A$ 是任意角，剪去 $\angle A$ 后成为四边形，探究 $\angle 1 + \angle 2$ 与 $\angle A$ 的关系并证明。
(1) 如图，为直角三角形 $\triangle ABC$，$\angle A=90^{\circ}$，若沿图中虚线剪去 $\angle A$，变成四边形，则 $\angle 1 + \angle 2 = $ ________。
(2) 若 $\angle A$ 是任意角，剪去 $\angle A$ 后成为四边形，探究 $\angle 1 + \angle 2$ 与 $\angle A$ 的关系并证明。
【参考答案与解析】
解：(1) 原三角形内角和为 $180^{\circ}$，$\angle B + \angle C = 90^{\circ}$。
剪去 $\angle A$ 后形成四边形，四边形内角和为 $360^{\circ}$。
所以 $\angle 1 + \angle 2 = 360^{\circ} - (\angle B + \angle C) = 360^{\circ} - 90^{\circ} = $ $270^{\circ}$。
(2) $\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} + \angle A$。
证明：在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A$。
剪去 $\angle A$ 后的四边形内角和为 $360^{\circ}$。
$\angle 1 + \angle 2 = 360^{\circ} - (\angle B + \angle C) = 360^{\circ} - (180^{\circ} - \angle A) = 180^{\circ} + \angle A$。
解：(1) 原三角形内角和为 $180^{\circ}$，$\angle B + \angle C = 90^{\circ}$。
剪去 $\angle A$ 后形成四边形，四边形内角和为 $360^{\circ}$。
所以 $\angle 1 + \angle 2 = 360^{\circ} - (\angle B + \angle C) = 360^{\circ} - 90^{\circ} = $ $270^{\circ}$。
(2) $\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} + \angle A$。
证明：在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A$。
剪去 $\angle A$ 后的四边形内角和为 $360^{\circ}$。
$\angle 1 + \angle 2 = 360^{\circ} - (\angle B + \angle C) = 360^{\circ} - (180^{\circ} - \angle A) = 180^{\circ} + \angle A$。
22．如图，已知：$AB=AC, DB=DC$，点 $E$ 在 $AD$ 的延长线上。
(1) 求证：$AD$ 垂直平分 $BC$；
(2) 求证：$EB=EC$。
(1) 求证：$AD$ 垂直平分 $BC$；
(2) 求证：$EB=EC$。
【参考答案与解析】
证明：
(1) 因为 $AB=AC$，所以点 $A$ 在线段 $BC$ 的垂直平分线上。
因为 $DB=DC$，所以点 $D$ 也在线段 $BC$ 的垂直平分线上。
由于两点确定一条直线，所以直线 $AD$ 就是线段 $BC$ 的垂直平分线。
即 $AD$ 垂直平分 $BC$。
(2) 由 (1) 知，直线 $AD$ (也就是直线 $AE$) 垂直平分 $BC$。
因为点 $E$ 在直线 $AD$ 的延长线上（即在 $BC$ 的垂直平分线上），
根据线段垂直平分线的性质：“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，
所以 $EB=EC$。
证明：
(1) 因为 $AB=AC$，所以点 $A$ 在线段 $BC$ 的垂直平分线上。
因为 $DB=DC$，所以点 $D$ 也在线段 $BC$ 的垂直平分线上。
由于两点确定一条直线，所以直线 $AD$ 就是线段 $BC$ 的垂直平分线。
即 $AD$ 垂直平分 $BC$。
(2) 由 (1) 知，直线 $AD$ (也就是直线 $AE$) 垂直平分 $BC$。
因为点 $E$ 在直线 $AD$ 的延长线上（即在 $BC$ 的垂直平分线上），
根据线段垂直平分线的性质：“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，
所以 $EB=EC$。