🌟 15.2 画轴对称的图形 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（ ）
2．若直线 $l_1$ 经过点 $(0, -4)$， $l_2$ 经过点 $(3, 2)$，且 $l_1$ 与 $l_2$ 关于 $x$ 轴对称，则 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点坐标为（ ）
3．在平面直角坐标系中，点 $(2, 3)$ 关于 $x$ 轴的对称点的坐标是（ ）
4．在平面直角坐标系中，将点 $P(-1, -2)$ 向右平移 $5$ 个单位后，得到的点 $P_1$，点 $P_1$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $P_2$，则 $P_2$ 坐标是（ ）
5．在平面直角坐标系中，点 $(-2, 3)$ 关于 $x$ 轴对称点的坐标是（ ）
6．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则该车牌的部分号码为（ ）
7．在平面直角坐标系中，点 $(-2, 3)$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标为（ ）
8．若点 $B$ 与点 $A(-3, 1)$ 关于 $y$ 轴对称，则 $B$ 的坐标是（ ）
9．已知点 $P_1(-a, 2)$ 与点 $P_2(1, b)$ 关于 $y$ 轴对称，则 $a+b$ 的值为（ ）
10．若点 $A(2, m)$ 与点 $B(n, -3)$ 关于 $y$ 轴对称，则 $n-m$ 的值是（ ）
11．平面坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(-4, 6)$，将线段 $OA$ 沿 $y$ 轴翻折得到线段 $OA'$，则点 $A$ 的对应点 $A'$ 的坐标为（ ）
12．已知点 $P_1(m, 3)$ 与点 $P_2(2, n)$ 关于 $x$ 轴对称，则 $m+n$ 的值为（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．已知点 $P$ 的坐标为 $(2, 3)$，若点 $Q$ 与点 $P$ 关于 $y$ 轴对称，则点 $Q$ 的坐标为 ．
14．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为 $y$ 轴，镜面侧面为 $x$ 轴（镜面厚度忽路不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖 $S$ 点的坐标是 $(x-2, 2)$。此时对应的虚像 $S'$ 的坐标是 $(3, y)$，则 $x+y=$ ．
15．点 $(-1, -2)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为 ．
16．如图，以长方形的中心为原点建立坐标系．点 $A$ 的坐标是 $(2, 1)$，则点 $B$ 的坐标是 ，点 $C$ 的坐标是 ，点 $D$ 的坐标是 ．
17．已知点 $P(3, -2)$，关于 $y$ 轴对称的点的坐标为 ．
三、 解答题 (18-24)
18．图1、图2、图3均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， $\triangle ABC$ 的三个顶点都在格点上。
(1) 在图1中，将 $\triangle ABC$ 平移到 $\triangle DEF$，使点 $A$ 与点 $D$ 对应；
(2) 在图2中，作出一个与 $\triangle ABC$ 关于直线成轴对称的格点三角形；
(3) 在图3中，作出四边形 $ABCH$，使四边形 $ABCH$ 为轴对称图形。
(1) 在图1中，将 $\triangle ABC$ 平移到 $\triangle DEF$，使点 $A$ 与点 $D$ 对应；
(2) 在图2中，作出一个与 $\triangle ABC$ 关于直线成轴对称的格点三角形；
(3) 在图3中，作出四边形 $ABCH$，使四边形 $ABCH$ 为轴对称图形。
【参考答案与解析】
解：分别根据平移变换和轴对称变换的性质作图如下：
解：分别根据平移变换和轴对称变换的性质作图如下：
19．如图，在平面直角坐标系中， $\triangle ABC$ 和 $\triangle A_1B_1C_1$ 关于点 $E$ 成中心对称。
(1) 画出对称中心 $E$，并写出点 $E$ 的坐标；
(2) 画出与 $\triangle ABC$ 关于点 $O$ 成中心对称的 $\triangle A_2B_2C_2$；
(3) $x$ 轴上存在一点 $P$，使 $PA_1+PC$ 的值最小，求点 $P$ 的坐标。
(1) 画出对称中心 $E$，并写出点 $E$ 的坐标；
(2) 画出与 $\triangle ABC$ 关于点 $O$ 成中心对称的 $\triangle A_2B_2C_2$；
(3) $x$ 轴上存在一点 $P$，使 $PA_1+PC$ 的值最小，求点 $P$ 的坐标。
【参考答案与解析】
解：(1) 连接对应点 $AA_1, BB_1, CC_1$，交点即为对称中心 $E$。
由图可知 $E$ 的坐标为 $(-1, -1)$。
(2) 分别求出 $A(-2, 3), B(-4, 1), C(-1, 0)$ 关于原点 $O$ 对称的点：
$A_2(2, -3), B_2(4, -1), C_2(1, 0)$，依次连接即得 $\triangle A_2B_2C_2$。
(3) 作点 $A(-2, 3)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A'(-2, -3)$。连接 $A'C$，交 $x$ 轴于点 $P$。
由于 $A'$ 与 $A_1$ (即 $(0,-3)$，此处按网格点计算) 的连线方程计算可得 $P$ 的坐标。
经直观或代数求交点得，点 $P$ 的坐标是 $(-\frac{4}{3}, 0)$。
解：(1) 连接对应点 $AA_1, BB_1, CC_1$，交点即为对称中心 $E$。
由图可知 $E$ 的坐标为 $(-1, -1)$。
(2) 分别求出 $A(-2, 3), B(-4, 1), C(-1, 0)$ 关于原点 $O$ 对称的点：
$A_2(2, -3), B_2(4, -1), C_2(1, 0)$，依次连接即得 $\triangle A_2B_2C_2$。
(3) 作点 $A(-2, 3)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A'(-2, -3)$。连接 $A'C$，交 $x$ 轴于点 $P$。
由于 $A'$ 与 $A_1$ (即 $(0,-3)$，此处按网格点计算) 的连线方程计算可得 $P$ 的坐标。
经直观或代数求交点得，点 $P$ 的坐标是 $(-\frac{4}{3}, 0)$。
20．在平面直角坐标系中，已知点 $A(2m-5, 6)$，点 $B(-3, n-2)$。
(1) 若 $A, B$ 关于 $x$ 轴对称，求 $m+n$ 的值；
(2) 若 $A, B$ 关于 $y$ 轴对称，求 $m-n$ 的值。
(1) 若 $A, B$ 关于 $x$ 轴对称，求 $m+n$ 的值；
(2) 若 $A, B$ 关于 $y$ 轴对称，求 $m-n$ 的值。
【参考答案与解析】
解：(1) 若 $A, B$ 关于 $x$ 轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数。
得方程组：
$2m - 5 = -3$
$n - 2 = -6$
解得：$m = 1, n = -4$。
所以 $m+n = 1 + (-4) = $ $-3$。（原卷答案为6，可能系题目表达式抄写误差，此处按所给条件严谨推导）。
(2) 若 $A, B$ 关于 $y$ 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等。
得方程组：
$2m - 5 = 3$
$n - 2 = 6$
解得：$m = 4, n = 8$。
所以 $m-n = 4 - 8 = $ $-4$。
解：(1) 若 $A, B$ 关于 $x$ 轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数。
得方程组：
$2m - 5 = -3$
$n - 2 = -6$
解得：$m = 1, n = -4$。
所以 $m+n = 1 + (-4) = $ $-3$。（原卷答案为6，可能系题目表达式抄写误差，此处按所给条件严谨推导）。
(2) 若 $A, B$ 关于 $y$ 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等。
得方程组：
$2m - 5 = 3$
$n - 2 = 6$
解得：$m = 4, n = 8$。
所以 $m-n = 4 - 8 = $ $-4$。
21．在直角坐标系中，画一幅关于 $x$ 轴（或 $y$ 轴）对称的美丽图案，并说明你是如何做的。
【参考答案与解析】
解：作法说明：
1. 先在第一象限画出四边形 $ABCO$；
2. 分别作出点 $A, B, C, O$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A', B', C', O'$；
3. 依次连接 $A'B', B'C', C'O', O'A'$，即得到一幅关于 $x$ 轴对称的图案（类似蝴蝶或花朵形状）。
（作图略）
解：作法说明：
1. 先在第一象限画出四边形 $ABCO$；
2. 分别作出点 $A, B, C, O$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A', B', C', O'$；
3. 依次连接 $A'B', B'C', C'O', O'A'$，即得到一幅关于 $x$ 轴对称的图案（类似蝴蝶或花朵形状）。
（作图略）
22．在平面直角坐标系中的位置如图所示， $A, B, C$ 三点在格点上。
(1) 作出 $\triangle ABC$ 关于 $x$ 轴对称的 $\triangle A_1B_1C_1$；
(2) 在 $y$ 轴上求作点 $D$，使得 $AD+CD$ 的值最小，点 $D$ 的坐标为 ．
(1) 作出 $\triangle ABC$ 关于 $x$ 轴对称的 $\triangle A_1B_1C_1$；
(2) 在 $y$ 轴上求作点 $D$，使得 $AD+CD$ 的值最小，点 $D$ 的坐标为 ．
【参考答案与解析】
解：(1) 将点 $A(2, 4), B(1, 1), C(3, 2)$ 沿 $x$ 轴翻折得 $A_1(2, -4), B_1(1, -1), C_1(3, -2)$，连线即可。
(2) 取点 $C(3, 2)$ 关于 $y$ 轴的对称点 $C'(-3, 2)$，连接 $AC'$。
设直线 $AC'$ 解析式为 $y = kx + b$，过 $A(2, 4)$ 和 $C'(-3, 2)$。
代入得：$4 = 2k + b$, $2 = -3k + b$
解得 $k = \frac{2}{5}, b = \frac{16}{5}$。
交 $y$ 轴于点 $D(0, \frac{16}{5})$，即 $(0, 3.2)$。
解：(1) 将点 $A(2, 4), B(1, 1), C(3, 2)$ 沿 $x$ 轴翻折得 $A_1(2, -4), B_1(1, -1), C_1(3, -2)$，连线即可。
(2) 取点 $C(3, 2)$ 关于 $y$ 轴的对称点 $C'(-3, 2)$，连接 $AC'$。
设直线 $AC'$ 解析式为 $y = kx + b$，过 $A(2, 4)$ 和 $C'(-3, 2)$。
代入得：$4 = 2k + b$, $2 = -3k + b$
解得 $k = \frac{2}{5}, b = \frac{16}{5}$。
交 $y$ 轴于点 $D(0, \frac{16}{5})$，即 $(0, 3.2)$。
23．在平面直角坐标系中，直线 $l$ 过 $M(2, 0)$，且平行于 $y$ 轴。
(1) 若 $\triangle ABC$ 三个顶点的坐标分别为 $A(-2, 0), B(-1, 0), C(-1, 2)$，$\triangle ABC$ 关于直线 $l$ 的对称图形是 $\triangle A_1B_1C_1$，写出 $\triangle A_1B_1C_1$ 的三个顶点坐标；
(2) 如果点 $P$ 的坐标是 $(a, b)$，其中 $a>2$，点 $P$ 关于 $y$ 轴对称点是点 $P_1$，点 $P$ 关于直线 $l$ 对称点是点 $P_2$，求 $P_1P_2$ 的长。
(1) 若 $\triangle ABC$ 三个顶点的坐标分别为 $A(-2, 0), B(-1, 0), C(-1, 2)$，$\triangle ABC$ 关于直线 $l$ 的对称图形是 $\triangle A_1B_1C_1$，写出 $\triangle A_1B_1C_1$ 的三个顶点坐标；
(2) 如果点 $P$ 的坐标是 $(a, b)$，其中 $a>2$，点 $P$ 关于 $y$ 轴对称点是点 $P_1$，点 $P$ 关于直线 $l$ 对称点是点 $P_2$，求 $P_1P_2$ 的长。
【参考答案与解析】
解：(1) 直线 $l$ 的方程为 $x = 2$。
点 $(x, y)$ 关于直线 $x = 2$ 的对称点坐标为 $(4-x, y)$。
$A_1$: $x = 4 - (-2) = 6 \implies$ $A_1(6, 0)$。
$B_1$: $x = 4 - (-1) = 5 \implies$ $B_1(5, 0)$。
$C_1$: $C_1(5, 2)$。
(2) $P(a, b)$ 关于 $y$ 轴对称得 $P_1(-a, b)$。
$P(a, b)$ 关于直线 $x=2$ 对称得 $P_2(4-a, b)$。
因为它们纵坐标相等，所以线段平行于 $x$ 轴。
$P_1P_2 = |(4-a) - (-a)| = |4 - a + a| = $ $4$。
解：(1) 直线 $l$ 的方程为 $x = 2$。
点 $(x, y)$ 关于直线 $x = 2$ 的对称点坐标为 $(4-x, y)$。
$A_1$: $x = 4 - (-2) = 6 \implies$ $A_1(6, 0)$。
$B_1$: $x = 4 - (-1) = 5 \implies$ $B_1(5, 0)$。
$C_1$: $C_1(5, 2)$。
(2) $P(a, b)$ 关于 $y$ 轴对称得 $P_1(-a, b)$。
$P(a, b)$ 关于直线 $x=2$ 对称得 $P_2(4-a, b)$。
因为它们纵坐标相等，所以线段平行于 $x$ 轴。
$P_1P_2 = |(4-a) - (-a)| = |4 - a + a| = $ $4$。
24．已知 $\triangle ABC$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示。
(1) 写出 $A, B, C$ 三点的坐标；
(2) 若各顶点的横坐标都不变，纵坐标都乘以 $-1$，在同一坐标系中描出对应的点 $A_1, B_1, C_1$，并依次连接得 $\triangle A_1B_1C_1$；
(3) 请问 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A_1B_1C_1$ 有怎样的位置关系？
(1) 写出 $A, B, C$ 三点的坐标；
(2) 若各顶点的横坐标都不变，纵坐标都乘以 $-1$，在同一坐标系中描出对应的点 $A_1, B_1, C_1$，并依次连接得 $\triangle A_1B_1C_1$；
(3) 请问 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A_1B_1C_1$ 有怎样的位置关系？
【参考答案与解析】
解：(1) 由坐标系得：$A(3, 4), B(1, 2), C(5, 1)$。
(2) 纵坐标乘以 $-1$，横坐标不变，即得到对应点：
$A_1(3, -4), B_1(1, -2), C_1(5, -1)$。
（作图略，分别在第四象限标出并连接即可）。
(3) 由坐标特征可知，横坐标不变，纵坐标互为相反数，说明 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A_1B_1C_1$ 关于 $x$ 轴对称。
解：(1) 由坐标系得：$A(3, 4), B(1, 2), C(5, 1)$。
(2) 纵坐标乘以 $-1$，横坐标不变，即得到对应点：
$A_1(3, -4), B_1(1, -2), C_1(5, -1)$。
（作图略，分别在第四象限标出并连接即可）。
(3) 由坐标特征可知，横坐标不变，纵坐标互为相反数，说明 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A_1B_1C_1$ 关于 $x$ 轴对称。