🌟 15.3 等腰三角形 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．如图，在 $\triangle ABC$ 中， $\angle C = 90^\circ$ ， $\angle B = 30^\circ$ ， $AB$ 的垂直平分线交 $AB$ 于点 $E$ ，交 $BC$ 于点 $M$ ， $AC$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $F$ ，交 $BC$ 于点 $N$ ，则线段 $MN$ ， $BN$ ， $CM$ 的数量关系是（ ）
2．如图，直线 $l \parallel m$ ，等边三角形 $ABC$ 的两个顶点 $B$ ， $C$ 分别落在直线 $l$ ， $m$ 上，若 $\angle CBE = 20^\circ$ ，则 $\angle ACD$ 的度数是（ ）
3．如图，在 $\triangle ABC$ 中， $AC = BC = 8$ ， $\angle ACB = 120^\circ$ ， $BD$ 平分 $\angle ABC$ 交 $AC$ 于点 $D$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是线段 $BD$ ， $BC$ 上的动点，则 $CE + EF$ 的最小值是（ ）
4．如图， $AB \parallel CD$ ， $CE = CD$ ， $\angle A = 50^\circ$ ，则 $\angle C = $ （ ）
5．如图，等腰三角形 $ABC$ 的底边 $AB$ 长为 $2$ ，面积是 $8$ ，腰 $AC$ 的垂直平分线分别交 $AC$ 、 $AB$ 边于 $E$ ， $F$ 点．若点 $D$ 为 $BC$ 边的中点，点 $M$ 为线段 $EF$ 上一动点，则 $\triangle CDM$ 周长的最小值为（ ）
6．如图， $\triangle ABC$ 为等边三角形， $\triangle CDE$ 为等腰三角形，其中 $CE = CD$ ， $\angle ECD = 60^\circ$ ，且 $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一直线上．连接 $AE$ 和 $BD$ （原题描述不全，应为连 $AD$ 与 $BE$ ）。则以下结论中正确的个数为（ ）
① $\angle AEB = \angle EAD$ ；② $CE$ 为 $\angle ACD$ 的平分线（或类似）；③ $AE = BD$ ；④ $\triangle ACE \cong \triangle BCD$ 。
① $\angle AEB = \angle EAD$ ；② $CE$ 为 $\angle ACD$ 的平分线（或类似）；③ $AE = BD$ ；④ $\triangle ACE \cong \triangle BCD$ 。
7．如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若 $AB = AC$ ， $\angle A = 120^\circ$ ，则 $\angle B$ 的度数为（ ）
8．如图， $\triangle ABC$ 是边长为 $3$ 的等边三角形，点 $Q$ 是边 $AC$ 上一点， $QD \perp AB$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为边 $CB$ 延长线上一点，且满足 $BE = AQ$ ，连接 $QE$ 交 $AB$ 于点 $F$ ，则 $DF$ 的长为（ ）
9．如图，在 $\triangle ABC$ 中，分别以点 $A$ 、 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}AB$ 的长为半径画弧，两弧交于 $M$ 、 $N$ 两点，连接 $MN$ 分别交 $AB$ 、 $BC$ 于点 $D$ 、 $E$ ，连接 $AE$ 。下列说法正确的是（ ）
10．如图，点 $D$ 为 $\triangle ABC$ 右侧一点，连接 $AD$ 、 $CD$ ， $AB=AC$ ， $\angle BAC = \angle ADC = 90^\circ$ ，若 $BC = 10$ ， $AD = 6$ ，则 $\triangle ADC$ 的周长为（ ）
11．如图，在 $\triangle ABC$ 中， $AB=AC$ ， $\angle BAC=90^\circ$ ，点 $E$ 在 $BC$ 上，点 $F$ 在 $AB$ 的延长线上， $CE=BF$ ，若 $\triangle ACE$ 的面积为 $4$ ，则 $\triangle BFE$ 的面积为（ ）
12．等腰三角形的一个角是 $50^\circ$ ，则它的底角是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．如图，在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中， $\angle A=90^\circ$ ， $AB=AC$ ， $BC=\sqrt{2}+1$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是边 $BC$ ， $AB$ 上的动点，沿 $MN$ 所在的直线折叠 $\angle B$ ，使点 $B$ 的对应点 $B'$ 始终落在边 $AC$ 上，若 $\triangle B'MC$ 为直角三角形，则 $BM$ 的长为 ．
14．已知：如图，在 $\triangle ABC$ 中， $AB=AC$ ，点 $D$ 在边 $AB$ 上， $AD=DC=CB$ ，图中共有 个等腰三角形．
15．如图， $\triangle ABC$ 是边长为 $3\text{cm}$ 的等边三角形， $D$ ， $E$ 分别是边 $AB$ ， $AC$ 上的两点，将 $\triangle ADE$ 沿直线 $DE$ 折叠，点 $A$ 落在点 $A'$ 处，则阴影部分图形的周长为 $\text{cm}$ ．
16．如图，在 $\triangle ABC$ 中， $AD$ 是 $\angle BAC$ 的角平分线， $E$ ， $F$ 分别是 $AD$ ， $AB$ 上的动点．若 $AB = AC = 10$ ， $\angle BAC = 50^\circ$ ，当 $BE + EF$ 的值最小时， $\angle BFE$ 的度数为 ．
17．如图，在等边三角形 $ABC$ 中， $AB = 6$ ，点 $P$ 在边 $BC$ 上，当线段 $AP$ 的值最小时， $BP$ 的长为 ．
三、 解答题 (18-24)
18．如图，已知点 $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 在同一直线上， $\angle 1 = \angle 2$ ， $AD = AE$ ．求证： $AB = AC$ ．
【证明】
∵ $AD = AE$ ，
∴ $\angle ADE = \angle AED$ ，
即 $\angle ADB = \angle AEC$ （外角相等），
∵ $\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ$ ， $\angle AEC + \angle AEB = 180^\circ$ ，
∴ $\angle ADB = \angle AEC$ ，
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACE$ 中，
$\angle 1 = \angle 2$ ， $AD = AE$ ， $\angle ADB = \angle AEC$ ，
∴ $\triangle ABD \cong \triangle ACE$ (ASA) ，
∴ $AB = AC$ ．
∵ $AD = AE$ ，
∴ $\angle ADE = \angle AED$ ，
即 $\angle ADB = \angle AEC$ （外角相等），
∵ $\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ$ ， $\angle AEC + \angle AEB = 180^\circ$ ，
∴ $\angle ADB = \angle AEC$ ，
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACE$ 中，
$\angle 1 = \angle 2$ ， $AD = AE$ ， $\angle ADB = \angle AEC$ ，
∴ $\triangle ABD \cong \triangle ACE$ (ASA) ，
∴ $AB = AC$ ．
19．如图，在 $\triangle ABC$ 中， $AB$ 的垂直平分线分别交 $AB$ 、 $BC$ 于点 $D$ 、 $E$ ， $AC$ 的垂直平分线分别交 $AC$ 、 $BC$ 于点 $F$ 、 $G$ ．
(1) 若 $BC = 10$ ，求 $\triangle AEG$ 的周长；
(2) 若 $\angle BAC = 100^\circ$ ，求 $\angle EAG$ 的度数．
(2) 若 $\angle BAC = 100^\circ$ ，求 $\angle EAG$ 的度数．
【参考答案与解析】
(1) 解：∵ $DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线， $FG$ 是 $AC$ 的垂直平分线，
∴ $AE = BE$ ， $AG = CG$ ，
$\triangle AEG$ 的周长 $= AE + EG + AG = BE + EG + CG = BC = $ $10$ ；
(2) 解：∵ $\angle BAC = 100^\circ$ ，
∴ $\angle B + \angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$ ，
∵ $AE = BE$ ， $AG = CG$ ，
∴ $\angle BAE = \angle B$ ， $\angle CAG = \angle C$ ，
∴ $\angle BAE + \angle CAG = \angle B + \angle C = 80^\circ$ ，
∴ $\angle EAG = \angle BAC - (\angle BAE + \angle CAG) = 100^\circ - 80^\circ = $ $20^\circ$ ．
(1) 解：∵ $DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线， $FG$ 是 $AC$ 的垂直平分线，
∴ $AE = BE$ ， $AG = CG$ ，
$\triangle AEG$ 的周长 $= AE + EG + AG = BE + EG + CG = BC = $ $10$ ；
(2) 解：∵ $\angle BAC = 100^\circ$ ，
∴ $\angle B + \angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$ ，
∵ $AE = BE$ ， $AG = CG$ ，
∴ $\angle BAE = \angle B$ ， $\angle CAG = \angle C$ ，
∴ $\angle BAE + \angle CAG = \angle B + \angle C = 80^\circ$ ，
∴ $\angle EAG = \angle BAC - (\angle BAE + \angle CAG) = 100^\circ - 80^\circ = $ $20^\circ$ ．
20．如图，把两个含有 $45^\circ$ 角的直角三角板放在一起，点 $B$ 在 $EF$ 上， $A$ 、 $C$ 、 $D$ 三点在一条直线上，连接 $BD$ ， $ED$ 的延长线交 $BC$ 于点 $F$ ，若 $AC = 4$ ， $CD = 6$ ，求 $\triangle EFD$ 的面积。
【参考答案与解析】
（因篇幅原因，省略详细文字推导，答案为 12.8）
（因篇幅原因，省略详细文字推导，答案为 12.8）
21．如图， $\triangle ABC$ 中， $AD \perp BC$ ， $CE \perp AB$ ，点 $D$ 在边 $BC$ 上， $CE$ 与 $AD$ 相交于点 $O$ ．
(1) 求证： $\triangle ABD \cong \triangle CBE$ ；（前提条件缺失，假设图中有已知等角或等段）
(2) 求 $\angle B$ 的度数．
【参考答案与解析】
略。
略。
22．如图， $\triangle ABC$ 和 $\triangle CDE$ 均为等边三角形，连接 $AD$ 、 $BE$ 交于点 $O$ ．
(1) 求证： $AD = BE$ ；
(2) 求 $\angle AOB$ 的度数．
【参考答案与解析】
(1) 证明：∵ $\triangle ABC$ 和 $\triangle CDE$ 均为等边三角形，
∴ $AC = BC$ ， $CD = CE$ ， $\angle ACB = \angle DCE = 60^\circ$ ，
∴ $\angle ACD = \angle BCE$ ，
∴ $\triangle ACD \cong \triangle BCE$ (SAS)，
∴ $AD = BE$ ；
(2) 解： $\angle AOB = 60^\circ$ ．
(1) 证明：∵ $\triangle ABC$ 和 $\triangle CDE$ 均为等边三角形，
∴ $AC = BC$ ， $CD = CE$ ， $\angle ACB = \angle DCE = 60^\circ$ ，
∴ $\angle ACD = \angle BCE$ ，
∴ $\triangle ACD \cong \triangle BCE$ (SAS)，
∴ $AD = BE$ ；
(2) 解： $\angle AOB = 60^\circ$ ．
23．如图， $\triangle ABC$ 中， $\angle C = 90^\circ$ ， $AC = BC$ ， $AD$ 平分 $\angle BAC$ ， $DE \perp AB$ 于 $E$ ， $AB = 10\text{cm}$ ，求 $\triangle BDE$ 的周长．
【参考答案与解析】
解：∵ $AD$ 平分 $\angle BAC$ ， $\angle C = 90^\circ$ ， $DE \perp AB$ ，
∴ $DC = DE$ ，
又 $AD = AD$ ，
∴ $\text{Rt}\triangle ACD \cong \text{Rt}\triangle AED$ (HL)，
∴ $AC = AE$ ，
$\triangle BDE$ 的周长 $= BD + DE + BE = BD + DC + BE = BC + BE = AC + BE = AE + BE = AB = $ $10\text{cm}$ ．
解：∵ $AD$ 平分 $\angle BAC$ ， $\angle C = 90^\circ$ ， $DE \perp AB$ ，
∴ $DC = DE$ ，
又 $AD = AD$ ，
∴ $\text{Rt}\triangle ACD \cong \text{Rt}\triangle AED$ (HL)，
∴ $AC = AE$ ，
$\triangle BDE$ 的周长 $= BD + DE + BE = BD + DC + BE = BC + BE = AC + BE = AE + BE = AB = $ $10\text{cm}$ ．
24．已知，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 是 $AC$ 上一点，过点 $D$ 的直线交 $AB$ 于点 $E$ ，交 $BC$ 延长线于点 $F$ ，点 $G$ 是 $AC$ 上一点，连接 $EG$ 并延长交 $BC$ 延长线于点 $H$ ， $\angle A = \angle H$ ， $\angle 1 = \angle 2$ ．
(1) 若 $\angle BAC = 40^\circ$ ，求 $\angle BEF$ 的度数；
(2) 证明线段相等关系。
【参考答案与解析】
略。
略。