🌟 16.1 幂的运算 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．已知 $3^a = 2$，$3^b = 9$，则 $3^{a+b}$ 的值为（ ）
2．计算 $x^3 \cdot x^2$ 的结果是（ ）
3．计算 $(-a^2)^3$ 的结果是（ ）
4．若 $m, n$ 都是正整数，则 $a^{mn}$ 可写成（ ）
5．已知 $m^2 = 3^a \cdot 3^b$，其中 $a, b, m$ 是正整数，则下列说法中正确的是（ ）
6．下列属于积的乘方的是（ ）
7．下列计算正确的是（ ）
8．下列运算正确的是（ ）
9．计算 $(-2x^2)^3$ 的结果是（ ）
10．下列各式中，计算结果等于 $a^6$ 的是（ ）
11．下列计算正确的是（ ）
12．已知等式中的底数与指数，则下列等式成立的是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．计算 $(3 \times 10^8) \times (4 \times 10^4) =$ ．（结果用科学记数法表示）
14．若 $x^m=4$，则 $x^{2m} =$ ．
15．如果 $a, b, c$ 满足 $2^a=3$，$2^b=4$，$2^c=12$，那么 $a, b, c$ 满足的等量关系是 ．
16．若 $2^n \cdot 4^n = 2^{15}$，则 $n =$ ．
17．计算：$x^2 \cdot x^4 =$ ．
三、 解答题 (18-24)
18．(1) 已知 $a^{3m-1} \cdot a^2 = a^m \cdot a^4 \cdot a^m$，求 $m$ 的值。
(2) 已知 $2^m \cdot 2^n = 16$，$3^m \cdot 9^n = 243$，求 $m, n$ 的值并计算 $m^n$ 的值。
(2) 已知 $2^m \cdot 2^n = 16$，$3^m \cdot 9^n = 243$，求 $m, n$ 的值并计算 $m^n$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 解：
原式化简得：$a^{(3m-1)+2} = a^{m+4+m}$
即 $a^{3m+1} = a^{2m+4}$
因为底数相同（假定底数不为0或$\pm1$的情形），则指数必然相等：
$3m+1 = 2m+4$
解得：$m = 3$。
(2) 解：
由 $2^m \cdot 2^n = 16$，可得 $2^{m+n} = 2^4$，所以 $m+n = 4$ ①
由 $3^m \cdot 9^n = 243$，将底数化为3，即 $3^m \cdot (3^2)^n = 3^m \cdot 3^{2n} = 3^{m+2n} = 3^5$ (因为 $3^5 = 243$)。
所以 $m+2n = 5$ ②
联立①②组成方程组，用②式减去①式，得：
$n = 1$
将 $n=1$ 代入①，得 $m = 3$。
所以 $m=3, n=1$。
代入计算：$m^n = 3^1 = $ $3$。
(1) 解：
原式化简得：$a^{(3m-1)+2} = a^{m+4+m}$
即 $a^{3m+1} = a^{2m+4}$
因为底数相同（假定底数不为0或$\pm1$的情形），则指数必然相等：
$3m+1 = 2m+4$
解得：$m = 3$。
(2) 解：
由 $2^m \cdot 2^n = 16$，可得 $2^{m+n} = 2^4$，所以 $m+n = 4$ ①
由 $3^m \cdot 9^n = 243$，将底数化为3，即 $3^m \cdot (3^2)^n = 3^m \cdot 3^{2n} = 3^{m+2n} = 3^5$ (因为 $3^5 = 243$)。
所以 $m+2n = 5$ ②
联立①②组成方程组，用②式减去①式，得：
$n = 1$
将 $n=1$ 代入①，得 $m = 3$。
所以 $m=3, n=1$。
代入计算：$m^n = 3^1 = $ $3$。
19．计算下列各题：
(1) $-x^2 \cdot (-x)^3 \cdot (-x)^4$
(2) $(a^3)^2 + a^2 \cdot a^4$
(1) $-x^2 \cdot (-x)^3 \cdot (-x)^4$
(2) $(a^3)^2 + a^2 \cdot a^4$
【参考答案与解析】
(1) 解：
原式 $= -x^2 \cdot (-x^3) \cdot (x^4)$
$= ( -x^2 ) \times ( -x^3 ) \times ( x^4 )$
$= x^2 \cdot x^3 \cdot x^4$
$= x^{2+3+4}$
$= $ $x^9$
(2) 解：
原式 $= a^{3 \times 2} + a^{2+4}$
$= a^6 + a^6$
$= $ $2a^6$
（注意：最后一项是合并同类项）
(1) 解：
原式 $= -x^2 \cdot (-x^3) \cdot (x^4)$
$= ( -x^2 ) \times ( -x^3 ) \times ( x^4 )$
$= x^2 \cdot x^3 \cdot x^4$
$= x^{2+3+4}$
$= $ $x^9$
(2) 解：
原式 $= a^{3 \times 2} + a^{2+4}$
$= a^6 + a^6$
$= $ $2a^6$
（注意：最后一项是合并同类项）
20．若 $a^m = b$（$a>0$且$a \neq 1$，$m$ 是正整数），则可以利用幂的运算进行逆向求值。利用上面结论解决下面的问题：
(1) 如果 $2^{3a+2b} = 11$，求 $8^a \times 4^b$ 的值；
(2) 如果 $27^a \times 9^b = 81$，求 $3a+2b$ 的值。
(1) 如果 $2^{3a+2b} = 11$，求 $8^a \times 4^b$ 的值；
(2) 如果 $27^a \times 9^b = 81$，求 $3a+2b$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 解：
将待求式统一底数化为2的幂的形式：
$8^a \times 4^b = (2^3)^a \times (2^2)^b$
$= 2^{3a} \times 2^{2b}$
$= 2^{3a+2b}$
因为已知 $2^{3a+2b} = 11$，
所以 $8^a \times 4^b = $ $11$。
(2) 解：
将等式左边统一底数化为3的幂的形式：
$27^a \times 9^b = (3^3)^a \times (3^2)^b$
$= 3^{3a} \times 3^{2b}$
$= 3^{3a+2b}$
又因为 $81 = 3^4$，
所以 $3^{3a+2b} = 3^4$。
根据同底数幂相等的性质，指数必定相等，
所以 $3a+2b = 4$。
(1) 解：
将待求式统一底数化为2的幂的形式：
$8^a \times 4^b = (2^3)^a \times (2^2)^b$
$= 2^{3a} \times 2^{2b}$
$= 2^{3a+2b}$
因为已知 $2^{3a+2b} = 11$，
所以 $8^a \times 4^b = $ $11$。
(2) 解：
将等式左边统一底数化为3的幂的形式：
$27^a \times 9^b = (3^3)^a \times (3^2)^b$
$= 3^{3a} \times 3^{2b}$
$= 3^{3a+2b}$
又因为 $81 = 3^4$，
所以 $3^{3a+2b} = 3^4$。
根据同底数幂相等的性质，指数必定相等，
所以 $3a+2b = 4$。
21．计算下列各式：
(1) $(m-n)^3 (n-m)^2$
(2) $(a^3)^2 - a^3 \cdot a^3$
(3) $x \cdot x^2 \cdot x^3 + (x^3)^2$
(1) $(m-n)^3 (n-m)^2$
(2) $(a^3)^2 - a^3 \cdot a^3$
(3) $x \cdot x^2 \cdot x^3 + (x^3)^2$
【参考答案与解析】
(1) 解：
因为 $(n-m)^2 = (m-n)^2$
所以原式 $= (m-n)^3 \cdot (m-n)^2 = $ $(m-n)^5$。
(2) 解：
原式 $= a^{3 \times 2} - a^{3+3}$
$= a^6 - a^6 = $ $0$。
(3) 解：
原式 $= x^{1+2+3} + x^{3 \times 2}$
$= x^6 + x^6 = $ $2x^6$。
(1) 解：
因为 $(n-m)^2 = (m-n)^2$
所以原式 $= (m-n)^3 \cdot (m-n)^2 = $ $(m-n)^5$。
(2) 解：
原式 $= a^{3 \times 2} - a^{3+3}$
$= a^6 - a^6 = $ $0$。
(3) 解：
原式 $= x^{1+2+3} + x^{3 \times 2}$
$= x^6 + x^6 = $ $2x^6$。
22．已知 $2^2 \cdot 2^n = 2^{12}$，求 $(2^n)^2$ 的值。
【参考答案与解析】
解：因为 $2^2 \cdot 2^n = 2^{2+n}$，
又已知 $2^2 \cdot 2^n = 2^{12}$，
所以 $2^{2+n} = 2^{12}$，
可得 $2+n = 12 \implies n = 10$。
将 $n=10$ 代入待求式：
$(2^n)^2 = (2^{10})^2 = 2^{20}$
*(注：若求 $2^n$ 的值，即为 $2^{10}=1024$。在此处 $(2^{10})^2 = 1048576$ 或者直接写 $2^{20}$)*
解：因为 $2^2 \cdot 2^n = 2^{2+n}$，
又已知 $2^2 \cdot 2^n = 2^{12}$，
所以 $2^{2+n} = 2^{12}$，
可得 $2+n = 12 \implies n = 10$。
将 $n=10$ 代入待求式：
$(2^n)^2 = (2^{10})^2 = 2^{20}$
*(注：若求 $2^n$ 的值，即为 $2^{10}=1024$。在此处 $(2^{10})^2 = 1048576$ 或者直接写 $2^{20}$)*
23．规定两正数 $a,b$ 之间的一种新运算，记作 $a * b$，如果 $2^a \cdot 2^b = 2^c$，那么 $a * b = c$。例如：因为 $2^2 \cdot 2^3 = 2^5$，所以 $2 * 3 = 5$。
根据前面的经验完成下面各题：
(1) 求 $1 * 2$ 的值；
(2) 求 $2 * 4$ 的值。
根据前面的经验完成下面各题：
(1) 求 $1 * 2$ 的值；
(2) 求 $2 * 4$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 解：
根据新定义的运算规律：
因为 $2^1 \cdot 2^2 = 2^{1+2} = 2^3$，
所以 $1 * 2 = $ $3$。
(2) 解：
因为 $2^2 \cdot 2^4 = 2^{2+4} = 2^6$，
所以 $2 * 4 = $ $6$。
*(实质上，新运算 $a * b$ 就是求 $a+b$)*
(1) 解：
根据新定义的运算规律：
因为 $2^1 \cdot 2^2 = 2^{1+2} = 2^3$，
所以 $1 * 2 = $ $3$。
(2) 解：
因为 $2^2 \cdot 2^4 = 2^{2+4} = 2^6$，
所以 $2 * 4 = $ $6$。
*(实质上，新运算 $a * b$ 就是求 $a+b$)*
24．已知 $3^{x+1} \cdot 2^{x+1} = 6^{2x-3}$，求 $x$ 的值。
【参考答案与解析】
解：运用积的乘方的逆运算律 $(ab)^n = a^n \cdot b^n$：
左边 $3^{x+1} \cdot 2^{x+1} = (3 \times 2)^{x+1} = 6^{x+1}$。
原方程可化为：
$6^{x+1} = 6^{2x-3}$
因为底数都是 $6$，要使等式成立，指数必须相等，
所以 $x + 1 = 2x - 3$
移项并合并同类项，得：
$x - 2x = -3 - 1$
$-x = -4$
$x = 4$。
解：运用积的乘方的逆运算律 $(ab)^n = a^n \cdot b^n$：
左边 $3^{x+1} \cdot 2^{x+1} = (3 \times 2)^{x+1} = 6^{x+1}$。
原方程可化为：
$6^{x+1} = 6^{2x-3}$
因为底数都是 $6$，要使等式成立，指数必须相等，
所以 $x + 1 = 2x - 3$
移项并合并同类项，得：
$x - 2x = -3 - 1$
$-x = -4$
$x = 4$。