🌟 16.2 整式的乘法 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．若 $(x+m)(x-6)$ 的展开式中不含 $x$ 项，则实数 $m$ 的值为（ ）
2．下面是一位学生做的四道题：① $a^2+a^3=a^5$；② $(a^2)^3=a^5$；③ $a^6 \div a^3 = a^2$；④ $a^2 \cdot a^3=a^5$，其中做对的是（ ）
3．计算 $12a^3b^2 \div 3ab$ 的结果是（ ）
4．已知 $A$ 是多项式。在计算 $A \div a$ 时，小马同学把 $\div a$ 看成了 $\times a$，结果得 $a^3+a^2$，则 $A \div a$ 的结果为（ ）
5．长方形的面积是 $2x^2+4x$。若一边长是 $2x$，则另一边长是（ ）
6．已知 $x=2$，$y=-1$，则 $(x+y)(x-y) - x(x-y) + x^2 - xy$ 的值为（ ）
7．下列运算正确的是（ ）
8．《燕几图》可以说是中国家具史上第一部组合家具的设计图。全套“燕几”一共有七张桌子，包括长桌、中桌和小桌，桌面的宽都相等。
如图给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子）。若设每张桌面的宽为 $x$，“磐矩”桌面的总面积为 $S$，则 $S$ 与 $x$ 之间的关系可以表示为（ ）
如图给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子）。若设每张桌面的宽为 $x$，“磐矩”桌面的总面积为 $S$，则 $S$ 与 $x$ 之间的关系可以表示为（ ）
9．已知单项式 $2x^m y^3$ 与 $3x^2 y^n$ 的积为 $6x^5 y^7$，则 $m, n$ 的值为（ ）
10．如图，边长为 $a$、$b$ 的长方形，它的周长为 $12$，面积为 $7$，则 $2ab$ 的值为（ ）
11．观察多项式相乘的运算过程：$(x+2)(x+5) = x^2+7x+10$。
根据你发现的规律，若 $x^2 - x - 6 = (x+a)(x+b)$，则 $a, b$ 的值可能分别是（ ）
根据你发现的规律，若 $x^2 - x - 6 = (x+a)(x+b)$，则 $a, b$ 的值可能分别是（ ）
12．下列计算正确的是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．若 $a^m = 8$，$a^n = 2$，则 $a^{m-n} =$ ．
14．定义多项式：$A = x^2+2x-1$，$B = 2x^2-x+3$。完成下面的探究：
（1）当 $x=1$ 时，$A+B$ 的值是 ；
（2）当 $x=2$ 时，$A-B$ 的值是 ．
（1）当 $x=1$ 时，$A+B$ 的值是 ；
（2）当 $x=2$ 时，$A-B$ 的值是 ．
15．计算：$(\pi - 3)^0 =$ ．
16．如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D,E,F$ 分别是相关线段上的点。若已知 $\triangle ABC$ 面积为 $100$，根据图形相关比例推导，四边形的面积是 ．（设答案为推导值 10）
17．填空：
（1）$6x^3y^2 \div 2xy =$ ；
（2）若 $A \cdot 2x = 4x^2$，则 $A =$ ．
（1）$6x^3y^2 \div 2xy =$ ；
（2）若 $A \cdot 2x = 4x^2$，则 $A =$ ．
三、 解答题 (18-24)
18．聪聪计算整式乘法 $(x+a)(x+b)$ 时，将 $+a$ 抄成了 $-a$，得到的结果为 $x^2 - x - 6$。已知 $a>0, b>0$。
(1) 求 $a,b$ 的值；
(2) 请你帮助聪聪算出这道题的正确结果。
(1) 求 $a,b$ 的值；
(2) 请你帮助聪聪算出这道题的正确结果。
【参考答案与解析】
(1) 解：
由题意，聪聪计算的是 $(x-a)(x+b)$。
展开得：$(x-a)(x+b) = x^2 + (b-a)x - ab$。
已知计算结果为 $x^2 - x - 6$，对比系数可知：
$b - a = -1$
$-ab = -6 \implies ab = 6$
解该方程组且 $a>0, b>0$，得出：$a = 3, b = 2$。
(2) 解：
原正确的算式应为 $(x+3)(x+2)$。
根据多项式乘法法则展开：
$(x+3)(x+2) = x^2 + 2x + 3x + 6 = $ $x^2 + 5x + 6$。
(1) 解：
由题意，聪聪计算的是 $(x-a)(x+b)$。
展开得：$(x-a)(x+b) = x^2 + (b-a)x - ab$。
已知计算结果为 $x^2 - x - 6$，对比系数可知：
$b - a = -1$
$-ab = -6 \implies ab = 6$
解该方程组且 $a>0, b>0$，得出：$a = 3, b = 2$。
(2) 解：
原正确的算式应为 $(x+3)(x+2)$。
根据多项式乘法法则展开：
$(x+3)(x+2) = x^2 + 2x + 3x + 6 = $ $x^2 + 5x + 6$。
19．计算：
(1) $(6x^3 - 4x^2) \div 2x$；
(2) $(8a^3b^2 + 4a^2b) \div 4a^2b$。
(1) $(6x^3 - 4x^2) \div 2x$；
(2) $(8a^3b^2 + 4a^2b) \div 4a^2b$。
【参考答案与解析】
本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键。
(1) 解：
原式 $= (6x^3) \div (2x) - (4x^2) \div (2x)$
$= $ $3x^2 - 2x$。
(2) 解：
原式 $= (8a^3b^2) \div (4a^2b) + (4a^2b) \div (4a^2b)$
$= $ $2ab + 1$。
本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键。
(1) 解：
原式 $= (6x^3) \div (2x) - (4x^2) \div (2x)$
$= $ $3x^2 - 2x$。
(2) 解：
原式 $= (8a^3b^2) \div (4a^2b) + (4a^2b) \div (4a^2b)$
$= $ $2ab + 1$。
20．计算：$(x+2)(x-3) - (x-1)(x+1)$
【参考答案与解析】
本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘以多项式计算法则去括号，然后合并同类项。
解：
原式 $= (x^2 - 3x + 2x - 6) - (x^2 - 1^2)$
$= (x^2 - x - 6) - (x^2 - 1)$
$= x^2 - x - 6 - x^2 + 1$
$= $ $-x - 5$。
本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘以多项式计算法则去括号，然后合并同类项。
解：
原式 $= (x^2 - 3x + 2x - 6) - (x^2 - 1^2)$
$= (x^2 - x - 6) - (x^2 - 1)$
$= x^2 - x - 6 - x^2 + 1$
$= $ $-x - 5$。
21．先化简，再求值：$(a+2)(a-2) - a(a-3)$，其中 $a = -1$。
【参考答案与解析】
本题考查的是整式混合运算，求解代数式的值，掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式是关键。
解：
化简原式：
$(a+2)(a-2) - a(a-3)$
$= (a^2 - 4) - (a^2 - 3a)$
$= a^2 - 4 - a^2 + 3a$
$= 3a - 4$
将 $a = -1$ 代入化简后的式子：
原式 $= 3 \times (-1) - 4 = -3 - 4 = $ $-7$。
本题考查的是整式混合运算，求解代数式的值，掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式是关键。
解：
化简原式：
$(a+2)(a-2) - a(a-3)$
$= (a^2 - 4) - (a^2 - 3a)$
$= a^2 - 4 - a^2 + 3a$
$= 3a - 4$
将 $a = -1$ 代入化简后的式子：
原式 $= 3 \times (-1) - 4 = -3 - 4 = $ $-7$。
22．如图，某城市广场是一个长方形，长为 $(4a+3b)$ 米，宽为 $(3a+4b)$ 米。为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为 $a$ 米、$b$ 米。
(1) 求音乐喷泉池的占地面积（用含 $a, b$ 的式子表示）；
(2) 若 $a,b$ 满足 $|a-2| + (b-3)^2 = 0$，求该广场音乐喷泉的面积。
(1) 求音乐喷泉池的占地面积（用含 $a, b$ 的式子表示）；
(2) 若 $a,b$ 满足 $|a-2| + (b-3)^2 = 0$，求该广场音乐喷泉的面积。
【参考答案与解析】
(1) 解：
由题意得，该音乐喷泉池的长为：$(4a+3b) - a - a = 2a+3b$，
宽为：$(3a+4b) - b - b = 3a+2b$。
该音乐喷泉池的面积为：
$(2a+3b)(3a+2b)$
$= 6a^2 + 4ab + 9ab + 6b^2$
$= $ $6a^2 + 13ab + 6b^2$ （平方米）。
(2) 解：
因为非负数之和为0，所以各项必须同时为0：
$|a-2| = 0 \implies a = 2$
$(b-3)^2 = 0 \implies b = 3$
将 $a=2, b=3$ 代入第一问的结果：
面积 $= 6(2^2) + 13(2)(3) + 6(3^2)$
$= 6 \times 4 + 78 + 6 \times 9$
$= 24 + 78 + 54 = $ $156$ （平方米）。
(1) 解：
由题意得，该音乐喷泉池的长为：$(4a+3b) - a - a = 2a+3b$，
宽为：$(3a+4b) - b - b = 3a+2b$。
该音乐喷泉池的面积为：
$(2a+3b)(3a+2b)$
$= 6a^2 + 4ab + 9ab + 6b^2$
$= $ $6a^2 + 13ab + 6b^2$ （平方米）。
(2) 解：
因为非负数之和为0，所以各项必须同时为0：
$|a-2| = 0 \implies a = 2$
$(b-3)^2 = 0 \implies b = 3$
将 $a=2, b=3$ 代入第一问的结果：
面积 $= 6(2^2) + 13(2)(3) + 6(3^2)$
$= 6 \times 4 + 78 + 6 \times 9$
$= 24 + 78 + 54 = $ $156$ （平方米）。
23．先化简，再求值：$(x+y)(x-y) + y(x+y)$，其中 $x=2, y=1$。
【参考答案与解析】
解：
化简原式：
$(x+y)(x-y) + y(x+y)$
$= (x^2 - y^2) + (xy + y^2)$
$= x^2 - y^2 + xy + y^2$
$= x^2 + xy$
将 $x=2, y=1$ 代入得：
原式 $= 2^2 + 2 \times 1 = 4 + 2 = $ $6$。
解：
化简原式：
$(x+y)(x-y) + y(x+y)$
$= (x^2 - y^2) + (xy + y^2)$
$= x^2 - y^2 + xy + y^2$
$= x^2 + xy$
将 $x=2, y=1$ 代入得：
原式 $= 2^2 + 2 \times 1 = 4 + 2 = $ $6$。
24．已知 $x=3$，求 $2^x$ 的值。
【参考答案与解析】
解：
将 $x=3$ 直接代入表达式。
$2^x = 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = $ $8$。
（本题考查了幂的基础运算规律。）
解：
将 $x=3$ 直接代入表达式。
$2^x = 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = $ $8$。
（本题考查了幂的基础运算规律。）