🌟 16.3 乘法公式 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．小颖在计算 $(x-3)(x+3)$ 时，发现可以运用平方差公式进行计算，则式子化简的结果为（ ）
2．已知 $(m+n)^2=11$，$mn=2$，则 $(m-n)^2$ 的值为（ ）
3．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。你根据图②能得到的数学公式是（ ）
图①
图②
4．已知 $x+y=14, x-y=6$。则 $x^2-y^2$ 的值为（ ）
5．如图，根据图中阴影部分的面积关系可以得到的恒等式为（ ）
6．如果 $(x-y+3)(x+y-3) = 49$，那么 $x^2-(y-3)^2$ 的值为（ ）
7．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
8．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
9．已知 $a^2+b^2=4$ ， $ab=2$ ，则 $a-b$ 的值为（ ）
10．已知 $x-\frac{1}{x}=5$，则 $x^2+\frac{1}{x^2}$ 的值是（ ）
11．如图①，已知大正方形边长为 $a$，小正方形边长为 $b$。将图①中阴影部分剪下拼成图②所示的长方形，比较两个图中阴影部分的面积，可得等式（ ）
图①
图②
12．下列计算正确的是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．计算：$(a+b)(a-b)-(a-b)^2 =$ ．
14．如图，某小区有一块长为 $(2a+b)$ 米，宽为 $(a-b)$ 米的长方形地块，物业计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为 $a$ 米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积为 平方米．
15．如图1，从边长为 $a$ 的大正方形中剪掉一个边长为 $b$ 的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2的长方形。根据图1、图2阴影部分的面积相等，可以得到的一个等式为 ．
16．若 $(x+y)^2=25$ 且 $x-y=1$，则 $x^2-y^2$ 的值为 ．
17．若 $a^2+b^2=10$，$ab=3$，则 $(a-b)^2$ 的值为 ．
三、 解答题 (18-24)
18．【方法回顾】在学习整式乘法时，我们常用“等积法”验证公式，即用两种不同的方法表示同一个图形的面积/体积。
【方法应用】(1) 在边长为 $a$ 的正方形纸片上剪去一个边长为 $b$ 的小正方形，将阴影部分拼成长方形，得到等式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
(2) 如图3是一张“L”形的纸片，其面积为27，已知长宽尺寸，利用乘法公式推导求得 $m \cdot n$ 相关的代数求值。若 $m^2-n^2=27$，$m-n=3$，则 $m+n$ = ______。
【方法迁移】(3) 用不同方法计算正方体（棱长为 $a+b$）被分割后的总体积，可以得到的等式是：______。
【方法应用】(1) 在边长为 $a$ 的正方形纸片上剪去一个边长为 $b$ 的小正方形，将阴影部分拼成长方形，得到等式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
(2) 如图3是一张“L”形的纸片，其面积为27，已知长宽尺寸，利用乘法公式推导求得 $m \cdot n$ 相关的代数求值。若 $m^2-n^2=27$，$m-n=3$，则 $m+n$ = ______。
【方法迁移】(3) 用不同方法计算正方体（棱长为 $a+b$）被分割后的总体积，可以得到的等式是：______。
【参考答案与解析】
(2) 解：
因为 $m^2-n^2 = 27$，根据平方差公式展开：$(m+n)(m-n) = 27$。
代入 $m-n=3$，得 $3(m+n) = 27$。
所以 $m+n = 9$。
(3) 解：
正方体棱长为 $(a+b)$，体积为 $(a+b)^3$。
将其切割成 8 块，分别为 1 个边长为 $a$ 的正方体，1 个边长为 $b$ 的正方体，3 个底面积 $a^2$ 高为 $b$ 的长方体，3 个底面积 $b^2$ 高为 $a$ 的长方体。
对应等式为：$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。
(2) 解：
因为 $m^2-n^2 = 27$，根据平方差公式展开：$(m+n)(m-n) = 27$。
代入 $m-n=3$，得 $3(m+n) = 27$。
所以 $m+n = 9$。
(3) 解：
正方体棱长为 $(a+b)$，体积为 $(a+b)^3$。
将其切割成 8 块，分别为 1 个边长为 $a$ 的正方体，1 个边长为 $b$ 的正方体，3 个底面积 $a^2$ 高为 $b$ 的长方体，3 个底面积 $b^2$ 高为 $a$ 的长方体。
对应等式为：$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。
19．先化简，再求值：
$(2x+y)^2 - (2x-y)(2x+y) - 2y^2$，其中 $x=1, y=-1$。
$(2x+y)^2 - (2x-y)(2x+y) - 2y^2$，其中 $x=1, y=-1$。
【参考答案与解析】
本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键。
解：
原式 $= (4x^2 + 4xy + y^2) - (4x^2 - y^2) - 2y^2$
$= 4x^2 + 4xy + y^2 - 4x^2 + y^2 - 2y^2$
$= 4xy$
当 $x=1, y=-1$ 时，
原式 $= 4 \times 1 \times (-1) = $ $-4$。
本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键。
解：
原式 $= (4x^2 + 4xy + y^2) - (4x^2 - y^2) - 2y^2$
$= 4x^2 + 4xy + y^2 - 4x^2 + y^2 - 2y^2$
$= 4xy$
当 $x=1, y=-1$ 时，
原式 $= 4 \times 1 \times (-1) = $ $-4$。
20．利用完全平方公式的变形，可以解决很多数学问题。例如：若 $x+y=5, xy=3$，求 $x^2+y^2$ 的值，可通过 $(x+y)^2 - 2xy$ 求解。
解决下列问题：
(1) 若 $a-b=4, ab=12$，求 $a^2+b^2$ 的值；
(2) 若 $(x+y)^2 = 16, (x-y)^2 = 4$，求 $xy$ 的值。
解决下列问题：
(1) 若 $a-b=4, ab=12$，求 $a^2+b^2$ 的值；
(2) 若 $(x+y)^2 = 16, (x-y)^2 = 4$，求 $xy$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 解：
因为 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
所以 $a^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab$
将 $a-b=4, ab=12$ 代入得：
$a^2+b^2 = 4^2 + 2 \times 12 = 16 + 24 = $ $40$。
(2) 解：
因为 $(x+y)^2 - (x-y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 4xy$
将已知条件代入得：$16 - 4 = 12$
即 $4xy = 12$
解得：$xy = 3$。
(1) 解：
因为 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
所以 $a^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab$
将 $a-b=4, ab=12$ 代入得：
$a^2+b^2 = 4^2 + 2 \times 12 = 16 + 24 = $ $40$。
(2) 解：
因为 $(x+y)^2 - (x-y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 4xy$
将已知条件代入得：$16 - 4 = 12$
即 $4xy = 12$
解得：$xy = 3$。
21．仔细观察，探索规律：
$(x-1)(x+1) = x^2-1$
$(x-1)(x^2+x+1) = x^3-1$
$(x-1)(x^3+x^2+x+1) = x^4-1$
(1) 猜想：$(x-1)(x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1) = $ ______；
(2) 根据上述规律求 $2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1$ 的值。
$(x-1)(x+1) = x^2-1$
$(x-1)(x^2+x+1) = x^3-1$
$(x-1)(x^3+x^2+x+1) = x^4-1$
(1) 猜想：$(x-1)(x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1) = $ ______；
(2) 根据上述规律求 $2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 猜想答案：
观察规律可知，因式的最高次幂加一即为结果的幂次，故结果为：$x^{n+1}-1$。
(2) 解：
原式等于求解规律中的多项式部分，令 $x=2, n=5$。
根据规律可推导：
$(2-1)(2^5+2^4+2^3+2^2+2+1) = 2^6 - 1$
因为 $2-1 = 1$，所以原式直接等于 $2^6 - 1$。
计算得 $64 - 1 = $ $63$。
(1) 猜想答案：
观察规律可知，因式的最高次幂加一即为结果的幂次，故结果为：$x^{n+1}-1$。
(2) 解：
原式等于求解规律中的多项式部分，令 $x=2, n=5$。
根据规律可推导：
$(2-1)(2^5+2^4+2^3+2^2+2+1) = 2^6 - 1$
因为 $2-1 = 1$，所以原式直接等于 $2^6 - 1$。
计算得 $64 - 1 = $ $63$。
22．(1) 已知 $x^2-4x+4 = 0$，求 $x$ 的值。
(2) 先化简，再求值：$(x+2)(x-2) + x(3-x)$，其中 $x=2$。
(2) 先化简，再求值：$(x+2)(x-2) + x(3-x)$，其中 $x=2$。
【参考答案与解析】
(1) 解：
利用完全平方公式逆向推导，左边是一个完全平方式：
$(x-2)^2 = 0$
解得：$x = 2$。
(2) 解：
化简原式：
$(x+2)(x-2) + x(3-x)$
$= (x^2 - 4) + (3x - x^2)$
$= x^2 - 4 + 3x - x^2$
$= 3x - 4$
当 $x=2$ 时，代入化简后的式子：
原式 $= 3 \times 2 - 4 = 6 - 4 = $ $2$。
(1) 解：
利用完全平方公式逆向推导，左边是一个完全平方式：
$(x-2)^2 = 0$
解得：$x = 2$。
(2) 解：
化简原式：
$(x+2)(x-2) + x(3-x)$
$= (x^2 - 4) + (3x - x^2)$
$= x^2 - 4 + 3x - x^2$
$= 3x - 4$
当 $x=2$ 时，代入化简后的式子：
原式 $= 3 \times 2 - 4 = 6 - 4 = $ $2$。
23．借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略。
图1、图2分别展示了完全平方式 $(a+b)^2$ 和 $(a-b)^2$ 的几何推导过程。
(1) 已知 $x^2+y^2=13, xy=6$，求 $(x+y)^2$ 的值；
(2) 如图，以 $AB$ 上的两点向两边作正方形，若正方形边长差为 2，面积差为 12，则两个正方形边长之和是多少？
图1、图2分别展示了完全平方式 $(a+b)^2$ 和 $(a-b)^2$ 的几何推导过程。
(1) 已知 $x^2+y^2=13, xy=6$，求 $(x+y)^2$ 的值；
(2) 如图，以 $AB$ 上的两点向两边作正方形，若正方形边长差为 2，面积差为 12，则两个正方形边长之和是多少？
【参考答案与解析】
(1) 解：
根据完全平方公式：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x^2+y^2) + 2xy$
将已知条件代入：
$(x+y)^2 = 13 + 2 \times 6 = 13 + 12 = $ $25$。
(2) 解：
设两个正方形的边长分别为 $a$ 和 $b$ ($a>b$)。
由题意得：
$a-b = 2$ (边长差)
$a^2-b^2 = 12$ (面积差)
根据平方差公式 $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$，代入得：
$12 = (a+b) \times 2$
解得：$a+b = 6$。
答：两个正方形的边长之和为 6。
(1) 解：
根据完全平方公式：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x^2+y^2) + 2xy$
将已知条件代入：
$(x+y)^2 = 13 + 2 \times 6 = 13 + 12 = $ $25$。
(2) 解：
设两个正方形的边长分别为 $a$ 和 $b$ ($a>b$)。
由题意得：
$a-b = 2$ (边长差)
$a^2-b^2 = 12$ (面积差)
根据平方差公式 $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$，代入得：
$12 = (a+b) \times 2$
解得：$a+b = 6$。
答：两个正方形的边长之和为 6。
24．先化简，再求值：
$(2a+b)(2a-b) - b(2a-b)$，其中 $a=1, b=-2$。
$(2a+b)(2a-b) - b(2a-b)$，其中 $a=1, b=-2$。
【参考答案与解析】
本题考查了整式的乘法运算、化简求值。
解：
化简原式：
$(2a+b)(2a-b) - b(2a-b)$
前项利用平方差公式展开，后项利用单项式乘多项式展开：
$= (4a^2 - b^2) - (2ab - b^2)$
$= 4a^2 - b^2 - 2ab + b^2$
合并同类项，得：
$= 4a^2 - 2ab$
当 $a=1, b=-2$ 时，代入上式计算：
原式 $= 4 \times (1)^2 - 2 \times 1 \times (-2)$
$= 4 - (-4)$
$= 4 + 4 = $ $8$。
本题考查了整式的乘法运算、化简求值。
解：
化简原式：
$(2a+b)(2a-b) - b(2a-b)$
前项利用平方差公式展开，后项利用单项式乘多项式展开：
$= (4a^2 - b^2) - (2ab - b^2)$
$= 4a^2 - b^2 - 2ab + b^2$
合并同类项，得：
$= 4a^2 - 2ab$
当 $a=1, b=-2$ 时，代入上式计算：
原式 $= 4 \times (1)^2 - 2 \times 1 \times (-2)$
$= 4 - (-4)$
$= 4 + 4 = $ $8$。