🌟 17.1 用提公因式法分解因式 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
2．把 $-2abc+a^2b^2c$ 分解因式，提取的公因式是（ ）
3．多项式 $15m^3n^2+5m^2n-20m^2n^3$ 各项的公因式是（ ）
4．计算 $(-2)^{2023} + (-2)^{2022}$ 的结果是（ ）
5．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
6．下列各式从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
7．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
8．若 $x^2+(n+3)x+m=(x+3)(x-7)$，则 $m+n$ 等于（ ）
9．$5a^3b-10a^2b^2+15ab^3=5ab \cdot M$中，$M$ 为（ ）
10．下列因式分解结果正确的是（ ）
11．将下列多项式因式分解，结果中不含因式 $x-1$ 的是（ ）
12．下列四种说法中正确的有（ ）
① 关于 $x$、$y$ 的方程 $xy-2x-y=199$ 存在整数解。
② 若两个不等实数 $a$、$b$ 满足 $a^2-2a=b^2-2b$，则 $a$、$b$ 互为相反数。
③ 若 $x+y-2=0$，则 $x^2-y^2+4y=4$。
④ 若 $x^2+y^2-2xy+x-y=0$，则 $x=y$。
① 关于 $x$、$y$ 的方程 $xy-2x-y=199$ 存在整数解。
② 若两个不等实数 $a$、$b$ 满足 $a^2-2a=b^2-2b$，则 $a$、$b$ 互为相反数。
③ 若 $x+y-2=0$，则 $x^2-y^2+4y=4$。
④ 若 $x^2+y^2-2xy+x-y=0$，则 $x=y$。
二、 填空题 (13-17)
13．分解因式：$ax^2-ay^2 =$ ．
14．多项式 $24x^3-18x^2$ 的公因式是 ．
15．$a^2b-ab^2$ 和 $ab-a^2$ 的公因式为 ．
16．如果 $x+y=12$，$xy=3$，那么 $x^2y+xy^2 =$ ．
17．已知 $x-1$ 是多项式 $2x^3+x^2-ax+b$ 的因式，且该多项式除以 $x+1$ 余数为 $6$。由于部分题目信息缺失，仅考虑若已知 $x-1$ 是 $2x^3+ax-3$ 的因式，则 $a =$ ．
三、 解答题 (18-24)
18．找出 $3x^2y$ 与 $6xy^2$ 的公因式。
【参考答案与解析】
本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键。
解：
系数：$3$ 和 $6$ 的最大公约数是 $3$。
字母部分：取相同的字母 $x$ 和 $y$。
指数部分：取相同字母的最低次数，$x$ 的最低次数是 $1$，$y$ 的最低次数是 $1$。
所以 $3x^2y$ 与 $6xy^2$ 的公因式为 $3xy$。
本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键。
解：
系数：$3$ 和 $6$ 的最大公约数是 $3$。
字母部分：取相同的字母 $x$ 和 $y$。
指数部分：取相同字母的最低次数，$x$ 的最低次数是 $1$，$y$ 的最低次数是 $1$。
所以 $3x^2y$ 与 $6xy^2$ 的公因式为 $3xy$。
19．已知 $a+b=5$，$ab=3$，求 $a^2b + ab^2$ 的值。
【参考答案与解析】
本题考查了因式分解的应用与代数式的化简求值，正确提取公因式是解决本题的关键。
解：
原式 $= a^2b + ab^2$
先提取公因式 $ab$：
$= ab(a+b)$
将 $a+b=5$，$ab=3$ 代入上式：
$= 3 \times 5$
$= $ $15$。
本题考查了因式分解的应用与代数式的化简求值，正确提取公因式是解决本题的关键。
解：
原式 $= a^2b + ab^2$
先提取公因式 $ab$：
$= ab(a+b)$
将 $a+b=5$，$ab=3$ 代入上式：
$= 3 \times 5$
$= $ $15$。
20．分解因式：$2a(x-y) - 3b(y-x)$。
【参考答案与解析】
本题考查了因式分解，运用提公因式法进行因式分解，即可作答。
解：
原式 $= 2a(x-y) - 3b[-(x-y)]$
利用符号变换法则 $(y-x) = -(x-y)$：
$= 2a(x-y) + 3b(x-y)$
提取公因式 $(x-y)$：
$= $ $(x-y)(2a+3b)$。
本题考查了因式分解，运用提公因式法进行因式分解，即可作答。
解：
原式 $= 2a(x-y) - 3b[-(x-y)]$
利用符号变换法则 $(y-x) = -(x-y)$：
$= 2a(x-y) + 3b(x-y)$
提取公因式 $(x-y)$：
$= $ $(x-y)(2a+3b)$。
21．分解因式：
(1) $3x^2 - 6xy$
(2) $x^2 - 4x + 4$
(3) $2a^2(b-c) - 4a(c-b)$
(4) $x^3 - xy^2$
(1) $3x^2 - 6xy$
(2) $x^2 - 4x + 4$
(3) $2a^2(b-c) - 4a(c-b)$
(4) $x^3 - xy^2$
【参考答案与解析】
解：
(1) 提公因式 $3x$：
$3x^2 - 6xy = $ $3x(x - 2y)$
(2) 使用完全平方公式：
$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = $ $(x - 2)^2$
(3) 符号变换后提公因式：
$2a^2(b-c) - 4a(c-b) = 2a^2(b-c) + 4a(b-c)$
提公因式 $2a(b-c)$：
$= 2a(b-c)(a + 2)$
(4) 先提公因式再用平方差公式：
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = $ $x(x+y)(x-y)$
解：
(1) 提公因式 $3x$：
$3x^2 - 6xy = $ $3x(x - 2y)$
(2) 使用完全平方公式：
$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = $ $(x - 2)^2$
(3) 符号变换后提公因式：
$2a^2(b-c) - 4a(c-b) = 2a^2(b-c) + 4a(b-c)$
提公因式 $2a(b-c)$：
$= 2a(b-c)(a + 2)$
(4) 先提公因式再用平方差公式：
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = $ $x(x+y)(x-y)$
22．分解因式：
(1) $x^2 - 9$
(2) $3m^2 - 6mn + 3n^2$
(1) $x^2 - 9$
(2) $3m^2 - 6mn + 3n^2$
【参考答案与解析】
解：
(1) 利用平方差公式分解：
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = $ $(x+3)(x-3)$
(2) 先提公因式，再利用完全平方公式继续分解：
$3m^2 - 6mn + 3n^2 = 3(m^2 - 2mn + n^2)$
$= $ $3(m-n)^2$
解：
(1) 利用平方差公式分解：
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = $ $(x+3)(x-3)$
(2) 先提公因式，再利用完全平方公式继续分解：
$3m^2 - 6mn + 3n^2 = 3(m^2 - 2mn + n^2)$
$= $ $3(m-n)^2$
23．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 $2x^2+3x-2$ 分解因式后有一个因式是 $x+2$，求另一个因式。
解：设另一个因式为 $ax+b$，得 $(x+2)(ax+b) = 2x^2+3x-2$，
展开得 $ax^2 + (2a+b)x + 2b = 2x^2+3x-2$，
比较系数可得：$a=2, 2b=-2 \implies b=-1$。
另一个因式为 $2x-1$。
请仿照上述方法解答下面问题：
(1) 若 $x^2+ax+b = (x-2)(x+3)$，则 $a=$ ____， $b=$ ____；
(2) 已知二次三项式 $3x^2+5x-2$ 分解因式后有一个因式是 $x+2$，求另一个因式；
(3) 已知二次三项式 $x^2-ax-6$ 有一个因式是 $x-2$，$a$ 为正整数，求另一个因式以及 $a$ 的值。
例题：已知二次三项式 $2x^2+3x-2$ 分解因式后有一个因式是 $x+2$，求另一个因式。
解：设另一个因式为 $ax+b$，得 $(x+2)(ax+b) = 2x^2+3x-2$，
展开得 $ax^2 + (2a+b)x + 2b = 2x^2+3x-2$，
比较系数可得：$a=2, 2b=-2 \implies b=-1$。
另一个因式为 $2x-1$。
请仿照上述方法解答下面问题：
(1) 若 $x^2+ax+b = (x-2)(x+3)$，则 $a=$ ____， $b=$ ____；
(2) 已知二次三项式 $3x^2+5x-2$ 分解因式后有一个因式是 $x+2$，求另一个因式；
(3) 已知二次三项式 $x^2-ax-6$ 有一个因式是 $x-2$，$a$ 为正整数，求另一个因式以及 $a$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 解：
将 $(x-2)(x+3)$ 展开得：$x^2 + x - 6$。
比较系数可得：$a = 1$，$b = -6$。
(2) 解：
设另一个因式为 $cx+d$，则 $(x+2)(cx+d) = 3x^2+5x-2$。
展开：$cx^2 + (2c+d)x + 2d = 3x^2+5x-2$。
比较系数：$c = 3$，$2d = -2 \implies d = -1$。
故另一个因式是 $3x-1$。
(3) 解：
设另一个因式是 $x+k$，则 $(x-2)(x+k) = x^2-ax-6$。
展开得：$x^2 + (k-2)x - 2k = x^2-ax-6$。
比较系数：$-2k = -6 \implies k = 3$。
所以另一因式为 $x+3$。
同时 $k-2 = -a$，即 $3-2 = 1 = -a$，得到 $a = -1$。（注：若题目要求$a$为正整数且存在歧义，按常规解析求出对应系数即可。若原题设定$x^2+ax-6$等变体则结果不同。遵循原解析逻辑，求解对应系数）。
(1) 解：
将 $(x-2)(x+3)$ 展开得：$x^2 + x - 6$。
比较系数可得：$a = 1$，$b = -6$。
(2) 解：
设另一个因式为 $cx+d$，则 $(x+2)(cx+d) = 3x^2+5x-2$。
展开：$cx^2 + (2c+d)x + 2d = 3x^2+5x-2$。
比较系数：$c = 3$，$2d = -2 \implies d = -1$。
故另一个因式是 $3x-1$。
(3) 解：
设另一个因式是 $x+k$，则 $(x-2)(x+k) = x^2-ax-6$。
展开得：$x^2 + (k-2)x - 2k = x^2-ax-6$。
比较系数：$-2k = -6 \implies k = 3$。
所以另一因式为 $x+3$。
同时 $k-2 = -a$，即 $3-2 = 1 = -a$，得到 $a = -1$。（注：若题目要求$a$为正整数且存在歧义，按常规解析求出对应系数即可。若原题设定$x^2+ax-6$等变体则结果不同。遵循原解析逻辑，求解对应系数）。
24．【例题讲解】仔细阅读下面的例题，解答问题：
例：已知二次三项式 $x^2-4x+m$ 有一个因式是 $x-3$，求另一个因式以及 $m$ 的值。
解：设另一个因式为 $x+n$，得 $(x-3)(x+n) = x^2-4x+m$
则 $x^2 + (n-3)x - 3n = x^2-4x+m$
解得 $n-3 = -4 \implies n = -1$， $-3n = m \implies m = 3$
∴另一个因式为 $x-1$，$m$ 的值为 $3$。
【学以致用】
(1) 若 $x^2+mx-15 = (x+3)(x+n)$，则 $m=$ ____，$n=$ ____；
(2) 已知二次三项式 $2x^2+kx-6$ 有一个因式是 $x-2$，求另一个因式以及 $k$ 的值；
(3) 若多项式 $x^3+mx^2+nx-6$（$m,n$是常数）分解因式后，有一个因式是 $x^2-x-2$，则求代数式 $m+n$ 的值。
例：已知二次三项式 $x^2-4x+m$ 有一个因式是 $x-3$，求另一个因式以及 $m$ 的值。
解：设另一个因式为 $x+n$，得 $(x-3)(x+n) = x^2-4x+m$
则 $x^2 + (n-3)x - 3n = x^2-4x+m$
解得 $n-3 = -4 \implies n = -1$， $-3n = m \implies m = 3$
∴另一个因式为 $x-1$，$m$ 的值为 $3$。
【学以致用】
(1) 若 $x^2+mx-15 = (x+3)(x+n)$，则 $m=$ ____，$n=$ ____；
(2) 已知二次三项式 $2x^2+kx-6$ 有一个因式是 $x-2$，求另一个因式以及 $k$ 的值；
(3) 若多项式 $x^3+mx^2+nx-6$（$m,n$是常数）分解因式后，有一个因式是 $x^2-x-2$，则求代数式 $m+n$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 解：
$(x+3)(x+n) = x^2 + (n+3)x + 3n$。
对照 $x^2+mx-15$：
$3n = -15 \implies $ $n = -5$。
$m = n+3 = -5+3 = $ $-2$。
(2) 解：
设另一个因式为 $2x+a$，则 $(x-2)(2x+a) = 2x^2+kx-6$。
展开：$2x^2 + (a-4)x - 2a = 2x^2+kx-6$。
比较系数：$-2a = -6 \implies a = 3$。
$k = a-4 = 3-4 = $ $-1$。
另一个因式为 $2x+3$。
(3) 解：
设第三个因式为 $x+c$，则 $(x^2-x-2)(x+c) = x^3+mx^2+nx-6$。
展开左边：$x^3 + cx^2 - x^2 - cx - 2x - 2c$
$= x^3 + (c-1)x^2 + (-c-2)x - 2c$。
对应系数相等：
$-2c = -6 \implies c = 3$。
$m = c-1 = 3-1 = 2$。
$n = -c-2 = -3-2 = -5$。
所以 $m+n = 2 + (-5) = -3$。
(1) 解：
$(x+3)(x+n) = x^2 + (n+3)x + 3n$。
对照 $x^2+mx-15$：
$3n = -15 \implies $ $n = -5$。
$m = n+3 = -5+3 = $ $-2$。
(2) 解：
设另一个因式为 $2x+a$，则 $(x-2)(2x+a) = 2x^2+kx-6$。
展开：$2x^2 + (a-4)x - 2a = 2x^2+kx-6$。
比较系数：$-2a = -6 \implies a = 3$。
$k = a-4 = 3-4 = $ $-1$。
另一个因式为 $2x+3$。
(3) 解：
设第三个因式为 $x+c$，则 $(x^2-x-2)(x+c) = x^3+mx^2+nx-6$。
展开左边：$x^3 + cx^2 - x^2 - cx - 2x - 2c$
$= x^3 + (c-1)x^2 + (-c-2)x - 2c$。
对应系数相等：
$-2c = -6 \implies c = 3$。
$m = c-1 = 3-1 = 2$。
$n = -c-2 = -3-2 = -5$。
所以 $m+n = 2 + (-5) = -3$。