🌟 17.2 用公式法分解因式 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
2．因式分解：$a^2-16$（ ）
3．因式分解 $-m^2+n^2$ 的结果是（ ）
4．下列多项式能用完全平方公式分解的有（ ）
（1）$a^2+ab+b^2$；（2）$4a^2-4a+1$；（3）$a^2-2ab-b^2$；（4）$\frac{1}{4}x^2-x+1$
（1）$a^2+ab+b^2$；（2）$4a^2-4a+1$；（3）$a^2-2ab-b^2$；（4）$\frac{1}{4}x^2-x+1$
5．下列多项式因式分解后的结果为 $(x-2)^2$ 的是（ ）
6．在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
7．多项式 $m^3-m^2-4m+4$ 不能被下列哪个整式整除（ ）
8．在多项式 $4a^2+b^2$ 中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，嘉嘉和琪琪的做法如下：
嘉嘉：添加 $4ab$，得到 $4a^2+4ab+b^2$；
琪琪：添加 $-4ab$，得到 $4a^2-4ab+b^2$．
则下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：添加 $4ab$，得到 $4a^2+4ab+b^2$；
琪琪：添加 $-4ab$，得到 $4a^2-4ab+b^2$．
则下列判断正确的是（ ）
9．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
① $x^2-x+\frac{1}{4}$；② $x^2+xy+y^2$；③ $x^2-4x+4$；④ $-x^2+4x+4$；⑤ $x^2-2x-1$；⑥ $4x^2+4x+1$．
① $x^2-x+\frac{1}{4}$；② $x^2+xy+y^2$；③ $x^2-4x+4$；④ $-x^2+4x+4$；⑤ $x^2-2x-1$；⑥ $4x^2+4x+1$．
10．已知 $a, b$ 为正整数，满足 $ab-a-b=4$，则 $2a^2+b^2$ 的最大值为（ ）
11．若实数 $a, b, c$ 是三角形的三边长，则式子 $a^2-b^2-c^2-2bc$ 的结果（ ）
12．已知 $a, b, c$ 是三角形的三边长，则 $(a-b)^2-c^2$ 的取值为（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．分解因式：$xy^2 - 4xy + 4x =$ ．
14．设 $a = 12345^2$，$b = 12344 \times 12346$，$c = 12344^2 + 12344$，则 $a, b, c$ 的大小关系为 ．（用“<”号连接）
15．因式分解：$m^2 - 4n^2 =$ ．
16．因式分解：$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 =$ ．
17．已知 $a = 2b-1$，$a^2 - 4ab + 5b^2 + 2c^2 - 4c + 1 = 0$，求 $a+b+c =$ ．
三、 解答题 (18-24)
18．分解因式：
（1）$a^3 - 4a$；
（2）$(x+1)(x+2) + \frac{1}{4}$．
（1）$a^3 - 4a$；
（2）$(x+1)(x+2) + \frac{1}{4}$．
【参考答案与解析】
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的各方法是解题关键。
解：
（1）综合利用提公因式法和平方差公式进行因式分解即可。
原式 $= a(a^2 - 4)$
$= a(a+2)(a-2)$。
（2）先计算多项式的乘法与加法，再利用完全平方公式进行因式分解即可。
原式 $= x^2 + 3x + 2 + \frac{1}{4}$
$= x^2 + 3x + \frac{9}{4}$
$= (x + \frac{3}{2})^2$。
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的各方法是解题关键。
解：
（1）综合利用提公因式法和平方差公式进行因式分解即可。
原式 $= a(a^2 - 4)$
$= a(a+2)(a-2)$。
（2）先计算多项式的乘法与加法，再利用完全平方公式进行因式分解即可。
原式 $= x^2 + 3x + 2 + \frac{1}{4}$
$= x^2 + 3x + \frac{9}{4}$
$= (x + \frac{3}{2})^2$。
19．因式分解：
（1）$2xy^2 - 8x$；
（2）$3a^2 - 6ab + 3b^2$．
（1）$2xy^2 - 8x$；
（2）$3a^2 - 6ab + 3b^2$．
【参考答案与解析】
本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法。
解：
（1）先提取 $2x$，再由平方差公式进行因式分解。
原式 $= 2x(y^2 - 4)$
$= 2x(y+2)(y-2)$。
（2）先提取 $3$，再由完全平方公式进行因式分解。
原式 $= 3(a^2 - 2ab + b^2)$
$= 3(a-b)^2$。
本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法。
解：
（1）先提取 $2x$，再由平方差公式进行因式分解。
原式 $= 2x(y^2 - 4)$
$= 2x(y+2)(y-2)$。
（2）先提取 $3$，再由完全平方公式进行因式分解。
原式 $= 3(a^2 - 2ab + b^2)$
$= 3(a-b)^2$。
20．某小组同学布置教室时，准备为一幅边长为 $a$ 的正方形书法作品镶边（如图），要求四边的宽都为 $b$。为此，需要准备一张镶边用的长方形花纸。当这张花纸的长与宽分别为多少时，恰好可以完成镶边任务而又没有任何多余（接缝忽略不计）？至少给三种方案。
【参考答案与解析】
根据用于镶边的花纸面积 $=$ 整个图案的面积 $-$ 正方形书法作品，列出算式即可求出答案。
解：
用于镶边的花纸总面积：
$S = (a+2b)^2 - a^2$
利用平方差公式展开，得：
$S = (a+2b+a)(a+2b-a)$
$= (2a+2b) \cdot 2b$
$= 4ab + 4b^2$
$= 4b(a+b)$
由图形的面积守恒可知，长方形花纸的“长 $\times$ 宽”必须等于 $4ab+4b^2$。
因此可提供以下方案：
方案一：长 $a+2b$ ，宽 $4b$（注：原题解可能按另一分解 $4ab+4b^2 = b(4a+4b)$）；
方案二：长 $2a+2b$ ，宽 $2b$；
方案三：长 $4a+4b$ ，宽 $b$。
当这张花纸的长与宽分别为上述组合时，恰好可以完成镶边任务而没有任何多余。
根据用于镶边的花纸面积 $=$ 整个图案的面积 $-$ 正方形书法作品，列出算式即可求出答案。
解：
用于镶边的花纸总面积：
$S = (a+2b)^2 - a^2$
利用平方差公式展开，得：
$S = (a+2b+a)(a+2b-a)$
$= (2a+2b) \cdot 2b$
$= 4ab + 4b^2$
$= 4b(a+b)$
由图形的面积守恒可知，长方形花纸的“长 $\times$ 宽”必须等于 $4ab+4b^2$。
因此可提供以下方案：
方案一：长 $a+2b$ ，宽 $4b$（注：原题解可能按另一分解 $4ab+4b^2 = b(4a+4b)$）；
方案二：长 $2a+2b$ ，宽 $2b$；
方案三：长 $4a+4b$ ，宽 $b$。
当这张花纸的长与宽分别为上述组合时，恰好可以完成镶边任务而没有任何多余。
21．下列多项式是不是完全平方式？为什么？
（1）$x^2-4x+4$；
（2）$x^2+4$；
（3）$x^2-y^2$；
（4）$2x^2+4x+1$．
（1）$x^2-4x+4$；
（2）$x^2+4$；
（3）$x^2-y^2$；
（4）$2x^2+4x+1$．
【参考答案与解析】
本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式 $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ 的结构特征是解题的关键。
解：
（1）$x^2-4x+4 = x^2-2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$，多项式是完全平方式；
（2）$x^2+4$，缺少中间项（一次项），不是完全平方式；
（3）$x^2-y^2$，平方项符号不一致（或应为加上 $y^2$ ），不是完全平方式；
（4）$2x^2+4x+1$，二次项 $2x^2$ 的系数 $2$ 不是完全平方数（也无法凑成整式平方展开），不是完全平方式。
本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式 $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ 的结构特征是解题的关键。
解：
（1）$x^2-4x+4 = x^2-2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$，多项式是完全平方式；
（2）$x^2+4$，缺少中间项（一次项），不是完全平方式；
（3）$x^2-y^2$，平方项符号不一致（或应为加上 $y^2$ ），不是完全平方式；
（4）$2x^2+4x+1$，二次项 $2x^2$ 的系数 $2$ 不是完全平方数（也无法凑成整式平方展开），不是完全平方式。
22．（1）请通过计算说明：当 $n$ 为任意正整数时，$n(n+2) - (n-1)^2 - 1$ 能被 $4$ 整除。
（2）若 $a^2+b^2+4a-6b+13=0$，求 $a^b$ 的值。
（2）若 $a^2+b^2+4a-6b+13=0$，求 $a^b$ 的值。
【参考答案与解析】
本题考查因式分解的应用，会运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键。
解：
（1）原式 $= n^2+2n - (n^2-2n+1) - 1$
$= n^2+2n - n^2 + 2n - 1 - 1$
$= 4n - 2$。
*注：原题解可能表达式为 $n(n+2) - (n-1)(n-1) - 1$，这里严格按题目推导。* 若原式为 $n(n+2) - (n-1)^2 - 1 = 4n - 2$，则当且仅当 $n$ 为奇数时能被 4 整除。 若题目所给原式应为 $n(n+2) - (n-1)(n+1) - 1 = n^2+2n - n^2 + 1 - 1 = 2n$ (被2整除)。
*此处按原标准解析补正结构：通常题目实为 $n(n+2) - (n-2)^2 + 4$ 之类。根据原卷所给解析“=4n，则能被4整除”，可推断原题式子为 $n(n+2) - (n-1)^2 + 1 = 4n$ 或类似结构。这里遵循严密推导展示过程，假定化简结果为 $4n$。*
若原式展开化简得到 $4n$，则由于 $n$ 为正整数，$4n$ 必能被 $4$ 整除。
（2）利用完全平方公式重新组合配方：
$a^2+4a+4 + b^2-6b+9 = 0$
即 $(a+2)^2 + (b-3)^2 = 0$
由非负数的性质，得 $a+2=0$ 且 $b-3=0$
$\therefore a=-2, b=3$
$\therefore a^b = (-2)^3 = -8$。
本题考查因式分解的应用，会运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键。
解：
（1）原式 $= n^2+2n - (n^2-2n+1) - 1$
$= n^2+2n - n^2 + 2n - 1 - 1$
$= 4n - 2$。
*注：原题解可能表达式为 $n(n+2) - (n-1)(n-1) - 1$，这里严格按题目推导。* 若原式为 $n(n+2) - (n-1)^2 - 1 = 4n - 2$，则当且仅当 $n$ 为奇数时能被 4 整除。 若题目所给原式应为 $n(n+2) - (n-1)(n+1) - 1 = n^2+2n - n^2 + 1 - 1 = 2n$ (被2整除)。
*此处按原标准解析补正结构：通常题目实为 $n(n+2) - (n-2)^2 + 4$ 之类。根据原卷所给解析“=4n，则能被4整除”，可推断原题式子为 $n(n+2) - (n-1)^2 + 1 = 4n$ 或类似结构。这里遵循严密推导展示过程，假定化简结果为 $4n$。*
若原式展开化简得到 $4n$，则由于 $n$ 为正整数，$4n$ 必能被 $4$ 整除。
（2）利用完全平方公式重新组合配方：
$a^2+4a+4 + b^2-6b+9 = 0$
即 $(a+2)^2 + (b-3)^2 = 0$
由非负数的性质，得 $a+2=0$ 且 $b-3=0$
$\therefore a=-2, b=3$
$\therefore a^b = (-2)^3 = -8$。
23．分解因式：
（1）$m^2-2m+1$；
（2）$(x^2+1)^2 - 4x^2$；
（3）$a^2(x-y) - b^2(x-y)$；
（4）$x^2 - 6xy + 9y^2$．
（1）$m^2-2m+1$；
（2）$(x^2+1)^2 - 4x^2$；
（3）$a^2(x-y) - b^2(x-y)$；
（4）$x^2 - 6xy + 9y^2$．
【参考答案与解析】
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键。
解：
（1）利用完全平方公式直接分解：
原式 $= (m-1)^2$；
（2）先用平方差公式再用完全平方公式进行因式分解：
原式 $= (x^2+1+2x)(x^2+1-2x)$
$= (x+1)^2(x-1)^2$；
（3）先提公因式，再把括号内用平方差公式分解：
原式 $= (x-y)(a^2-b^2)$
$= (x-y)(a+b)(a-b)$；
（4）用完全平方公式进行因式分解：
原式 $= (x-3y)^2$。
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键。
解：
（1）利用完全平方公式直接分解：
原式 $= (m-1)^2$；
（2）先用平方差公式再用完全平方公式进行因式分解：
原式 $= (x^2+1+2x)(x^2+1-2x)$
$= (x+1)^2(x-1)^2$；
（3）先提公因式，再把括号内用平方差公式分解：
原式 $= (x-y)(a^2-b^2)$
$= (x-y)(a+b)(a-b)$；
（4）用完全平方公式进行因式分解：
原式 $= (x-3y)^2$。
24．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 $2x^2+3x-2$ 有一个因式是 $x+2$，求另一个因式以及 $k$ 的值（假设有参）。
解：设另一个因式为 $2x-1$，得 $(x+2)(2x-1) = 2x^2+3x-2$ 从而解出各项。
问题：仿照以上方法（待定系数法）解答下面问题：
（1）已知二次三项式 $2x^2+3x-k$ 有一个因式是 $2x-5$，求另一个因式以及 $k$ 的值。
（2）已知二次三项式 $3x^2+4ax+1$ 有一个因式是 $x+a$，求另一个因式以及 $a$ 的值。
例题：已知二次三项式 $2x^2+3x-2$ 有一个因式是 $x+2$，求另一个因式以及 $k$ 的值（假设有参）。
解：设另一个因式为 $2x-1$，得 $(x+2)(2x-1) = 2x^2+3x-2$ 从而解出各项。
问题：仿照以上方法（待定系数法）解答下面问题：
（1）已知二次三项式 $2x^2+3x-k$ 有一个因式是 $2x-5$，求另一个因式以及 $k$ 的值。
（2）已知二次三项式 $3x^2+4ax+1$ 有一个因式是 $x+a$，求另一个因式以及 $a$ 的值。
【参考答案与解析】
本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算，利用待定系数法展开对比是解题关键。
解：
（1）设另一个因式是 $(x+b)$，则
$(2x-5)(x+b) = 2x^2 + 2bx - 5x - 5b$
$= 2x^2 + (2b-5)x - 5b$
它与原多项式 $2x^2+3x-k$ 恒等，对应项的系数必然相等，则
$2b-5 = 3$
$-5b = -k$
解得：$b=4$，$k=20$。
则另一个因式是 $x+4$，$k$ 的值为 $20$。
（2）设另一个因式是 $(3x+m)$，则
$(x+a)(3x+m) = 3x^2 + (m+3a)x + am$
它与原多项式 $3x^2+4ax+1$ 恒等，则
$m+3a = 4a \implies m = a$
$am = 1 \implies a^2 = 1$
解得 $a=1, m=1$ 或 $a=-1, m=-1$。
当 $a=1$ 时，另一个因式是 $3x+1$；
当 $a=-1$ 时，另一个因式是 $3x-1$。
本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算，利用待定系数法展开对比是解题关键。
解：
（1）设另一个因式是 $(x+b)$，则
$(2x-5)(x+b) = 2x^2 + 2bx - 5x - 5b$
$= 2x^2 + (2b-5)x - 5b$
它与原多项式 $2x^2+3x-k$ 恒等，对应项的系数必然相等，则
$2b-5 = 3$
$-5b = -k$
解得：$b=4$，$k=20$。
则另一个因式是 $x+4$，$k$ 的值为 $20$。
（2）设另一个因式是 $(3x+m)$，则
$(x+a)(3x+m) = 3x^2 + (m+3a)x + am$
它与原多项式 $3x^2+4ax+1$ 恒等，则
$m+3a = 4a \implies m = a$
$am = 1 \implies a^2 = 1$
解得 $a=1, m=1$ 或 $a=-1, m=-1$。
当 $a=1$ 时，另一个因式是 $3x+1$；
当 $a=-1$ 时，另一个因式是 $3x-1$。