🌟 18.1 分式及其基本性质 同步练习
一、 单选题 (1-11)
1．若 $\frac{M}{a+b} = \frac{a-b}{a^2-b^2}$，则 $M$ 为（ ）
2．下列分式中，最简分式是（ ）
3．代数式 $\frac{1}{x}$，$\frac{x}{2}$，$\frac{x+y}{\pi}$，$\frac{a}{a+b}$ 中，分式的个数是（ ）
4．与分式 $\frac{-a}{a-b}$ 的值相等的是（ ）
5．若分式 $\frac{x+1}{x^2}$ 的值为正，则 $x$ 的取值范围是（ ）
6．下列式子是分式的是（ ）
7．计算的正确结果是（ ）
8．下列分式中，是最简分式的是（ ）
9．已知 $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$，则 $\frac{x+y}{y}$ 等于（ ）
10．若分式能进行约分化简，则“□”内的正数是（ ）
11．若分式 $\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（ ）
二、 填空题 (12-16)
12．分式 $\frac{1}{2x}$ 与 $\frac{1}{3y}$ 的最简公分母是 ．
13．将分式 $\frac{0.2x+0.3y}{0.5x-0.1y}$ 的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ．
14．若分式 $\frac{|x|-1}{x+1}$ 的值等于 $0$，则 $x =$ ．
15．若分式 $\frac{x-2}{x+3}$ 的值为负数，$x$ 的取值范围是 ．
16．已知分式 $\frac{x-a}{x-b}$，当 $x=2$ 时，分式没有意义；当 $x=1$ 时，分式的值为零，则 $a+b$ 的值为 ．
三、 解答题 (17-23)
17．约分：$\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2}$。
【参考答案与解析】
解：
先将分子、分母分别因式分解：
分子 $x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2$
分母 $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$
所以原式 $= \frac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}$
约去公因式 $(x-y)$，得：
$= $ $\frac{x-y}{x+y}$。
【点睛】本题考查了分式的约分，正确约分的前提是要找到分子和分母的公因式，以及熟练进行因式分解。
解：
先将分子、分母分别因式分解：
分子 $x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2$
分母 $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$
所以原式 $= \frac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}$
约去公因式 $(x-y)$，得：
$= $ $\frac{x-y}{x+y}$。
【点睛】本题考查了分式的约分，正确约分的前提是要找到分子和分母的公因式，以及熟练进行因式分解。
18．“！”是一种数学运算符号，$1! = 1$，$2! = 2 \times 1$，$3! = 3 \times 2 \times 1$，$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1$，…，请你计算：$\frac{100!}{99!}$ ．
【参考答案与解析】
解：
根据“！”的意义（阶乘），把分子、分母分别转化为乘法式子后，约分计算即可。
$\frac{100!}{99!} = \frac{100 \times 99 \times 98 \times \dots \times 3 \times 2 \times 1}{99 \times 98 \times \dots \times 3 \times 2 \times 1}$
$= \frac{100 \times (99!)}{99!}$
$= $ $100$。
解：
根据“！”的意义（阶乘），把分子、分母分别转化为乘法式子后，约分计算即可。
$\frac{100!}{99!} = \frac{100 \times 99 \times 98 \times \dots \times 3 \times 2 \times 1}{99 \times 98 \times \dots \times 3 \times 2 \times 1}$
$= \frac{100 \times (99!)}{99!}$
$= $ $100$。
19．求下列二次根式中字母 $a$ 的取值范围。
(1) $\sqrt{a+2}$
(2) $\sqrt{\frac{1}{1-2a}}$
(3) $\sqrt{a^2+1}$
(1) $\sqrt{a+2}$
(2) $\sqrt{\frac{1}{1-2a}}$
(3) $\sqrt{a^2+1}$
【参考答案与解析】
根据二次根式的性质：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不能为0。
(1) 解：
由 $a+2 \ge 0$，得 $a \ge -2$。
所以字母 $a$ 的取值范围是 大于或等于 $-2$ 的实数。
(2) 解：
由 $\frac{1}{1-2a} \ge 0$ 且分母 $1-2a \neq 0$，得 $1-2a > 0$，即 $2a < 1$。
所以字母 $a$ 的取值范围是 小于 $\frac{1}{2}$ 的实数。
(3) 解：
因为无论 $a$ 取何值，都有 $a^2 \ge 0$，则 $a^2+1 \ge 1 > 0$ 恒成立，
所以 $a$ 的取值范围是 全体实数。
根据二次根式的性质：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不能为0。
(1) 解：
由 $a+2 \ge 0$，得 $a \ge -2$。
所以字母 $a$ 的取值范围是 大于或等于 $-2$ 的实数。
(2) 解：
由 $\frac{1}{1-2a} \ge 0$ 且分母 $1-2a \neq 0$，得 $1-2a > 0$，即 $2a < 1$。
所以字母 $a$ 的取值范围是 小于 $\frac{1}{2}$ 的实数。
(3) 解：
因为无论 $a$ 取何值，都有 $a^2 \ge 0$，则 $a^2+1 \ge 1 > 0$ 恒成立，
所以 $a$ 的取值范围是 全体实数。
20．按要求答题：
(1) 约分：$\frac{4a^2b}{6ab^2}$
(2) 通分：$\frac{1}{2x^2y}$，$\frac{1}{3xy^2}$
(1) 约分：$\frac{4a^2b}{6ab^2}$
(2) 通分：$\frac{1}{2x^2y}$，$\frac{1}{3xy^2}$
【参考答案与解析】
(1) 解：
根据分子分母所含相同因式，直接约分：
$\frac{4a^2b}{6ab^2} = \frac{2a \cdot (2ab)}{3b \cdot (2ab)} =$ $\frac{2a}{3b}$。
(2) 解：
两个分式的最简公分母为 $6x^2y^2$。
$\frac{1}{2x^2y} = \frac{1 \cdot 3y}{2x^2y \cdot 3y} =$ $\frac{3y}{6x^2y^2}$；
$\frac{1}{3xy^2} = \frac{1 \cdot 2x}{3xy^2 \cdot 2x} =$ $\frac{2x}{6x^2y^2}$。
(1) 解：
根据分子分母所含相同因式，直接约分：
$\frac{4a^2b}{6ab^2} = \frac{2a \cdot (2ab)}{3b \cdot (2ab)} =$ $\frac{2a}{3b}$。
(2) 解：
两个分式的最简公分母为 $6x^2y^2$。
$\frac{1}{2x^2y} = \frac{1 \cdot 3y}{2x^2y \cdot 3y} =$ $\frac{3y}{6x^2y^2}$；
$\frac{1}{3xy^2} = \frac{1 \cdot 2x}{3xy^2 \cdot 2x} =$ $\frac{2x}{6x^2y^2}$。
21．先化简，再求值：$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}$，其中 $x = 2$。
【参考答案与解析】
解：
原式 $= \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2}$
$= $ $\frac{x-1}{x+1}$。
当 $x = 2$ 时，代入化简后的式子：
原式 $= \frac{2-1}{2+1} = $ $\frac{1}{3}$。
解：
原式 $= \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2}$
$= $ $\frac{x-1}{x+1}$。
当 $x = 2$ 时，代入化简后的式子：
原式 $= \frac{2-1}{2+1} = $ $\frac{1}{3}$。
22．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数。
(1) $\frac{0.5x-0.2y}{0.3x+0.4y}$
(2) $\frac{\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y}{\frac{1}{4}x+\frac{1}{6}y}$
(1) $\frac{0.5x-0.2y}{0.3x+0.4y}$
(2) $\frac{\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y}{\frac{1}{4}x+\frac{1}{6}y}$
【参考答案与解析】
(1) 解：
根据分式的基本性质，分子分母同乘以 $10$：
原式 $= \frac{(0.5x-0.2y) \times 10}{(0.3x+0.4y) \times 10} = $ $\frac{5x-2y}{3x+4y}$。
(2) 解：
找出各项分母（$2, 3, 4, 6$）的最小公倍数，即 $12$。
根据分式的基本性质，分子分母同乘以 $12$：
原式 $= \frac{(\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y) \times 12}{(\frac{1}{4}x+\frac{1}{6}y) \times 12} = $ $\frac{6x-4y}{3x+2y}$。
(1) 解：
根据分式的基本性质，分子分母同乘以 $10$：
原式 $= \frac{(0.5x-0.2y) \times 10}{(0.3x+0.4y) \times 10} = $ $\frac{5x-2y}{3x+4y}$。
(2) 解：
找出各项分母（$2, 3, 4, 6$）的最小公倍数，即 $12$。
根据分式的基本性质，分子分母同乘以 $12$：
原式 $= \frac{(\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y) \times 12}{(\frac{1}{4}x+\frac{1}{6}y) \times 12} = $ $\frac{6x-4y}{3x+2y}$。
23．解不等式：
(1) $\frac{x-1}{x+2} > 0$
(2) $\frac{2x-1}{x+3} \le 0$
(1) $\frac{x-1}{x+2} > 0$
(2) $\frac{2x-1}{x+3} \le 0$
【参考答案与解析】
本题考查了解不等式，将不等式转化为不等式组进行求解。
(1) 解：
$\frac{x-1}{x+2} > 0$，同号得正，故转化为：
① $\begin{cases} x-1 > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases}$ ；或 ② $\begin{cases} x-1 < 0 \\ x+2 < 0 \end{cases}$
解①得：$x > 1$；
解②得：$x < -2$。
综上所述：$x > 1$ 或 $x < -2$。
(2) 解：
$\frac{2x-1}{x+3} \le 0$，异号得负，且分母不能为0，转化为：
① $\begin{cases} 2x-1 \le 0 \\ x+3 > 0 \end{cases}$ ；或 ② $\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x+3 < 0 \end{cases}$
解①得：$-3 < x \le \frac{1}{2}$；
解②得：无解。
综上所述：$-3 < x \le \frac{1}{2}$。
本题考查了解不等式，将不等式转化为不等式组进行求解。
(1) 解：
$\frac{x-1}{x+2} > 0$，同号得正，故转化为：
① $\begin{cases} x-1 > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases}$ ；或 ② $\begin{cases} x-1 < 0 \\ x+2 < 0 \end{cases}$
解①得：$x > 1$；
解②得：$x < -2$。
综上所述：$x > 1$ 或 $x < -2$。
(2) 解：
$\frac{2x-1}{x+3} \le 0$，异号得负，且分母不能为0，转化为：
① $\begin{cases} 2x-1 \le 0 \\ x+3 > 0 \end{cases}$ ；或 ② $\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x+3 < 0 \end{cases}$
解①得：$-3 < x \le \frac{1}{2}$；
解②得：无解。
综上所述：$-3 < x \le \frac{1}{2}$。