🌟 18.4 整数指数幂 同步练习
一、 单选题 (1-11)
1．$3^{-2}$ 是（ ）
2．计算 $(2a^{-2})^3$ 的结果是（ ）
3．纳米（$nm$）是非常小的长度单位，$1nm = 10^{-9}m$，某种冠状病毒的直径为 $120$ 纳米，用科学记数法表示该冠状病毒的直径为（ ）
4．已知 $a = \left(-\frac{1}{2}\right)^0$，$b = \left(-\frac{1}{2}\right)^{-1}$。这两个数的大小关系为（ ）
5．下列运算正确的是（ ）
6．已知一个水分子的直径约为 $4 \times 10^{-10}$ 米，勿忘我的花粉直径约为 $2 \times 10^{-5}$ 米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（ ）
7．已知 $a = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$，$b = (-2)^2$，$c = \pi^0$，那么 $a, b, c$ 的大小关系为（ ）
8．关于 $x$ 的代数式 $x^2 - mx + 9$ 分解因式得 $(x-3)^2$，则 $m$ 的值为（ ）
9．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”是唐代诗人李白《北风行》中的诗句。据测定，新降雪的密度约为 $0.05\text{g/cm}^3$，将数据“$0.05\text{g/cm}^3$”换算为 $\text{kg/m}^3$ 并用科学记数法表示为（ ）
10．下列计算正确的是（ ）
二、 填空题 (11-16)
11．计算：
（1）$2^{-2} =$
（2）$(-2)^{-3} =$
（3）$\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2} =$
（1）$2^{-2} =$
（2）$(-2)^{-3} =$
（3）$\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2} =$
12．计算：$(-2022)^0 + \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} =$ ．
13．计算 $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} + (2022)^0 =$ ．
14．
（1）当 $2^x \cdot 2^3 = 2^8$ 时，则 $x =$ ．
（2）计算 $(3^2)^y = 3^8$，则 $y =$ ．
（1）当 $2^x \cdot 2^3 = 2^8$ 时，则 $x =$ ．
（2）计算 $(3^2)^y = 3^8$，则 $y =$ ．
15．一个虫子的质量约是 $0.0005$ 克，用科学记数法表示这个虫子的质量为 克．
16．计算：
（1）$(3^{-1})^{-3} =$
（2）$5^{-2} \times 25 =$
（3）$2^0 - 2^1 =$
（4）$x^2 \cdot x^{-2} =$
（5）$(-x^3) \div x^5 =$
（1）$(3^{-1})^{-3} =$
（2）$5^{-2} \times 25 =$
（3）$2^0 - 2^1 =$
（4）$x^2 \cdot x^{-2} =$
（5）$(-x^3) \div x^5 =$
三、 解答题 (17-23)
17．计算：
(1) $a^{-1} \cdot a^{-2}$
(2) $(-3x^2)^2$
(3) $(-2a^2b)^3$
(4) $3^{-2} \times 3^4$
(1) $a^{-1} \cdot a^{-2}$
(2) $(-3x^2)^2$
(3) $(-2a^2b)^3$
(4) $3^{-2} \times 3^4$
【参考答案与解析】
本题考查的是负整数指数幂的含义及整式的运算法则。
(1) 解：$a^{-1} \cdot a^{-2} = a^{-1-2} =$ $a^{-3}$（或写成 $\frac{1}{a^3}$）；
(2) 解：$(-3x^2)^2 = (-3)^2 \cdot (x^2)^2 =$ $9x^4$；
(3) 解：$(-2a^2b)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 =$ $-8a^6b^3$；
(4) 解：$3^{-2} \times 3^4 = 3^{-2+4} = 3^2 =$ $9$。
本题考查的是负整数指数幂的含义及整式的运算法则。
(1) 解：$a^{-1} \cdot a^{-2} = a^{-1-2} =$ $a^{-3}$（或写成 $\frac{1}{a^3}$）；
(2) 解：$(-3x^2)^2 = (-3)^2 \cdot (x^2)^2 =$ $9x^4$；
(3) 解：$(-2a^2b)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 =$ $-8a^6b^3$；
(4) 解：$3^{-2} \times 3^4 = 3^{-2+4} = 3^2 =$ $9$。
18．计算：$\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} + (-1)^{2023} - (\pi-3.14)^0$
【参考答案与解析】
解：先分别计算有理数乘方、零指数幂、负整数指数幂，再由有理数加减法运算求解。
原式 $= 2 + (-1) - 1$
$= 2 - 1 - 1$
$= $ $0$。
解：先分别计算有理数乘方、零指数幂、负整数指数幂，再由有理数加减法运算求解。
原式 $= 2 + (-1) - 1$
$= 2 - 1 - 1$
$= $ $0$。
19．计算：$\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} - |-2| + 2\sin 30^\circ + (2023)^0$
【参考答案与解析】
本题主要考查了实数的混合运算。
解：原式 $= 3 - 2 + 2 \times \frac{1}{2} + 1$
$= 3 - 2 + 1 + 1$
$= 1 + 1 + 1$
$= $ $3$。
本题主要考查了实数的混合运算。
解：原式 $= 3 - 2 + 2 \times \frac{1}{2} + 1$
$= 3 - 2 + 1 + 1$
$= 1 + 1 + 1$
$= $ $3$。
20．计算：
(1) $(2a^{-2}b^3)^{-2}$
(2) $(x^{-2}y)^3 \cdot (x^3y^{-1})^{-2}$
(1) $(2a^{-2}b^3)^{-2}$
(2) $(x^{-2}y)^3 \cdot (x^3y^{-1})^{-2}$
【参考答案与解析】
本题主要考查整式的乘除法运算，掌握积的乘方，负指数幂的运算法则是解题的关键。
(1) 解：
$(2a^{-2}b^3)^{-2}$
$= 2^{-2} \cdot (a^{-2})^{-2} \cdot (b^3)^{-2}$
$= $ $\frac{1}{4} a^4 b^{-6}$。
(2) 解：
$(x^{-2}y)^3 \cdot (x^3y^{-1})^{-2}$
$= (x^{-6}y^3) \cdot (x^{-6}y^2)$
$= x^{-6-6} \cdot y^{3+2}$
$= $ $x^{-12}y^5$。
本题主要考查整式的乘除法运算，掌握积的乘方，负指数幂的运算法则是解题的关键。
(1) 解：
$(2a^{-2}b^3)^{-2}$
$= 2^{-2} \cdot (a^{-2})^{-2} \cdot (b^3)^{-2}$
$= $ $\frac{1}{4} a^4 b^{-6}$。
(2) 解：
$(x^{-2}y)^3 \cdot (x^3y^{-1})^{-2}$
$= (x^{-6}y^3) \cdot (x^{-6}y^2)$
$= x^{-6-6} \cdot y^{3+2}$
$= $ $x^{-12}y^5$。
21．阅读材料，解决下列问题：
例题：若 $x^2+y^2-4x+6y+13=0$，求 $x+y$ 的值。
解：$\because x^2-4x+4 + y^2+6y+9 = 0$
$\therefore (x-2)^2 + (y+3)^2 = 0$
$\therefore x-2=0, y+3=0$
$\therefore x=2, y=-3 \implies x+y = -1$。
解决问题：
(1) 若 $m^2+n^2-2m-4n+5=0$，求 $m+n$ 的值；
(2) 若 $a, b, c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长，且满足 $a^2+b^2-12a-16b+100=0$，求边长 $c$ 的取值范围。
例题：若 $x^2+y^2-4x+6y+13=0$，求 $x+y$ 的值。
解：$\because x^2-4x+4 + y^2+6y+9 = 0$
$\therefore (x-2)^2 + (y+3)^2 = 0$
$\therefore x-2=0, y+3=0$
$\therefore x=2, y=-3 \implies x+y = -1$。
解决问题：
(1) 若 $m^2+n^2-2m-4n+5=0$，求 $m+n$ 的值；
(2) 若 $a, b, c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长，且满足 $a^2+b^2-12a-16b+100=0$，求边长 $c$ 的取值范围。
【参考答案与解析】
(1) 解：$\because m^2-2m+1 + n^2-4n+4 = 0$
$\therefore (m-1)^2 + (n-2)^2 = 0$
$\therefore m-1=0, n-2=0$
$\therefore m=1, n=2$
$\therefore m+n = $ $3$。
(2) 解：$\because a^2-12a+36 + b^2-16b+64 = 0$
$\therefore (a-6)^2 + (b-8)^2 = 0$
$\therefore a-6=0, b-8=0$
$\therefore a=6, b=8$。
$\because a, b, c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长，
$\therefore |a-b| < c < a+b$
即 $|6-8| < c < 6+8$
$\therefore $ $2 < c < 14$。
(1) 解：$\because m^2-2m+1 + n^2-4n+4 = 0$
$\therefore (m-1)^2 + (n-2)^2 = 0$
$\therefore m-1=0, n-2=0$
$\therefore m=1, n=2$
$\therefore m+n = $ $3$。
(2) 解：$\because a^2-12a+36 + b^2-16b+64 = 0$
$\therefore (a-6)^2 + (b-8)^2 = 0$
$\therefore a-6=0, b-8=0$
$\therefore a=6, b=8$。
$\because a, b, c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长，
$\therefore |a-b| < c < a+b$
即 $|6-8| < c < 6+8$
$\therefore $ $2 < c < 14$。
22．通常分子的质量和体积都很小，已知 1 个水分子的质量约是 $3 \times 10^{-26}$ 千克，1 滴水（以 20 滴水为 1 克计）中大约有多少个水分子？假设 10 亿人来数 1 滴水中的水分子，每人每分钟数 100 个，日夜不停，大约需要多长时间才能数完？
【参考答案与解析】
解：1 滴水的质量为 $1 \text{克} \div 20 = 0.05 \text{克} = 5 \times 10^{-5}$ 千克。
1 滴水中水分子数量为：
$\frac{5 \times 10^{-5}}{3 \times 10^{-26}} \approx 1.67 \times 10^{21}$（个）；
10 亿人 $= 10^9$ 人，
每分钟计数总量为 $10^9 \times 100 = 10^{11}$ 个。
总时间为：
$T = \frac{1.67 \times 10^{21}}{10^{11}} = 1.67 \times 10^{10}$ 分钟。
将其换算为年：
$\frac{1.67 \times 10^{10}}{60 \times 24 \times 365} \approx $ $31773$ 年。
答：1滴水中大约有 $1.67 \times 10^{21}$ 个水分子，大约需要 31773 年才能数完。
解：1 滴水的质量为 $1 \text{克} \div 20 = 0.05 \text{克} = 5 \times 10^{-5}$ 千克。
1 滴水中水分子数量为：
$\frac{5 \times 10^{-5}}{3 \times 10^{-26}} \approx 1.67 \times 10^{21}$（个）；
10 亿人 $= 10^9$ 人，
每分钟计数总量为 $10^9 \times 100 = 10^{11}$ 个。
总时间为：
$T = \frac{1.67 \times 10^{21}}{10^{11}} = 1.67 \times 10^{10}$ 分钟。
将其换算为年：
$\frac{1.67 \times 10^{10}}{60 \times 24 \times 365} \approx $ $31773$ 年。
答：1滴水中大约有 $1.67 \times 10^{21}$ 个水分子，大约需要 31773 年才能数完。
23．计算：
(1) $\left(-\frac{1}{2}\right)^{-2} - (\pi)^0$
(2) 用简便方法计算：$(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1) + 1$
(1) $\left(-\frac{1}{2}\right)^{-2} - (\pi)^0$
(2) 用简便方法计算：$(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1) + 1$
【参考答案与解析】
(1) 解：原式 $= (-2)^2 - 1$
$= 4 - 1$
$= $ $3$；
(2) 解：本题考查平方差公式的连续应用。
原式 $= (2^2-1)(2^2+1)(2^4+1) + 1$
$= (2^4-1)(2^4+1) + 1$
$= (2^8-1) + 1$
$= $ $2^8$（或 $256$）。
(1) 解：原式 $= (-2)^2 - 1$
$= 4 - 1$
$= $ $3$；
(2) 解：本题考查平方差公式的连续应用。
原式 $= (2^2-1)(2^2+1)(2^4+1) + 1$
$= (2^4-1)(2^4+1) + 1$
$= (2^8-1) + 1$
$= $ $2^8$（或 $256$）。