🌟 第十七章因式分解 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
2．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
3．长方体的主视图和左视图的高均为 $x$。已知主视图的宽为 $a+b$，左视图的宽为 $a-b$，用 $S$ 表示俯视图的面积，则（ ）
4．给出下面四个多项式：① $x^2-y^2$；② $x^2-2xy+y^2$；③ $xy-y^2$；④ $x^2+y^2$．其中含有因式 $(x-y)$ 的多项式有（ ）
5．下列因式分解正确的是（ ）
6．将多项式 $a^3-a$ 分解因式，结果正确的是（ ）
7．若 $x^2-y^2 = 12$，$x-y = 3$，则代数式 $x+y$ 等于（ ）
8．有一种用“因式分解”法产生的密码。对于多项式 $x^3-4x$，因式分解的结果是 $x(x+2)(x-2)$，若取 $x=12$ 时，则各个因式的值组成的密码不可能是（ ）
9．已知实数 $x, y$ 满足 $x-y = 5$，则代数式 $x^2-2xy+y^2$ 的值为（ ）
10．已知 $a+b = 5$，$ab = 3$，则代数式 $a^2b+ab^2$ 的值为（ ）
11．将 $4x^2-y^2$ 分解因式，结果正确的是（ ）
12．下列四种说法中正确的有（ ）
①关于 $x, y$ 的方程 $2xy = 199$ 存在整数解。
②若两个不等实数 $a, b$ 满足 $a^2=b^2$，则 $a, b$ 互为相反数。
③若 $a^2-2a+1=0$，则 $a=1$。
④若 $a^2=a$，则 $a=1$。
①关于 $x, y$ 的方程 $2xy = 199$ 存在整数解。
②若两个不等实数 $a, b$ 满足 $a^2=b^2$，则 $a, b$ 互为相反数。
③若 $a^2-2a+1=0$，则 $a=1$。
④若 $a^2=a$，则 $a=1$。
二、 填空题 (13-17)
13．因式分解：$x^2-4x+4 =$ ．
14．分解因式：$ax^2-ay^2 =$ ．
15．利用平方差公式计算：$101^2-99^2 =$ ．
16．因式分解：$3x^2+6x+3 =$ ．
17．已知 $x^2+5x+6$ 可因式分解为 $(x+a)(x+b)$，其中 $a, b$ 均为正整数，则 $a+b$ 的值为 ．
三、 解答题 (18-24)
18．分解因式：
(1) $4x^2-16$
(2) $a^4-16$
(1) $4x^2-16$
(2) $a^4-16$
【参考答案与解析】
(1) 解：
原式 $= 4(x^2-4)$
$= $ $4(x+2)(x-2)$
(2) 解：
先按照平方差公式分解为：
原式 $= (a^2)^2 - 4^2$
$= (a^2+4)(a^2-4)$
再利用平方差公式对后一项彻底分解：
$= $ $(a^2+4)(a+2)(a-2)$
(1) 解：
原式 $= 4(x^2-4)$
$= $ $4(x+2)(x-2)$
(2) 解：
先按照平方差公式分解为：
原式 $= (a^2)^2 - 4^2$
$= (a^2+4)(a^2-4)$
再利用平方差公式对后一项彻底分解：
$= $ $(a^2+4)(a+2)(a-2)$
19．把下列各式分解因式：
(1) $3x^2y - 6xy^2$
(2) $a^2(x-y) + b^2(y-x)$
(3) $x(x-2) - x + 2$
(1) $3x^2y - 6xy^2$
(2) $a^2(x-y) + b^2(y-x)$
(3) $x(x-2) - x + 2$
【参考答案与解析】
(1) 解：提取公因式法。
原式 $= $ $3xy(x-2y)$
(2) 解：注意符号转换，把 $(y-x)$ 化为 $-(x-y)$。
原式 $= a^2(x-y) - b^2(x-y)$
$= (x-y)(a^2-b^2)$
$= $ $(x-y)(a+b)(a-b)$
(3) 解：提取公因式法，把后两项看作一个整体。
原式 $= x(x-2) - (x-2)$
$= $ $(x-2)(x-1)$
(1) 解：提取公因式法。
原式 $= $ $3xy(x-2y)$
(2) 解：注意符号转换，把 $(y-x)$ 化为 $-(x-y)$。
原式 $= a^2(x-y) - b^2(x-y)$
$= (x-y)(a^2-b^2)$
$= $ $(x-y)(a+b)(a-b)$
(3) 解：提取公因式法，把后两项看作一个整体。
原式 $= x(x-2) - (x-2)$
$= $ $(x-2)(x-1)$
20．若 $2x^2+mx-1$ 能分解为 $(2x+1)(x-1)$，求 $m$ 的值。
【参考答案与解析】
解：
先把分解的结果利用多项式乘以多项式法则展开：
$(2x+1)(x-1)$
$= 2x^2 - 2x + x - 1$
$= 2x^2 - x - 1$
因为 $2x^2+mx-1$ 与展开的结果恒等，利用多项式相等的条件（同次项系数相等），得到：
$m = -1$
解：
先把分解的结果利用多项式乘以多项式法则展开：
$(2x+1)(x-1)$
$= 2x^2 - 2x + x - 1$
$= 2x^2 - x - 1$
因为 $2x^2+mx-1$ 与展开的结果恒等，利用多项式相等的条件（同次项系数相等），得到：
$m = -1$
21．如图，在一块边长为 $a$ 的正方形纸板四周，各剪去一个边长为 $b$ 的正方形。
(1) 用代数式表示阴影部分的面积；
(2) 利用因式分解的方法计算：当 $a=15, b=3$ 时，阴影部分的面积。
(1) 用代数式表示阴影部分的面积；
(2) 利用因式分解的方法计算：当 $a=15, b=3$ 时，阴影部分的面积。
【参考答案与解析】
(1) 解：
由题意得：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积。
大正方形面积为 $a^2$，4个小正方形面积和为 $4b^2$。
则阴影部分的面积为：$a^2-4b^2$。
(2) 解：
阴影部分的面积为 $a^2-4b^2$，
将其因式分解得：$(a+2b)(a-2b)$。
将 $a=15, b=3$ 代入，得：
$= (15 + 2\times 3)(15 - 2\times 3)$
$= (15+6)(15-6)$
$= 21 \times 9$
$= $ $189$。
答：当 $a=15, b=3$ 时，阴影部分的面积为 189。
(1) 解：
由题意得：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积。
大正方形面积为 $a^2$，4个小正方形面积和为 $4b^2$。
则阴影部分的面积为：$a^2-4b^2$。
(2) 解：
阴影部分的面积为 $a^2-4b^2$，
将其因式分解得：$(a+2b)(a-2b)$。
将 $a=15, b=3$ 代入，得：
$= (15 + 2\times 3)(15 - 2\times 3)$
$= (15+6)(15-6)$
$= 21 \times 9$
$= $ $189$。
答：当 $a=15, b=3$ 时，阴影部分的面积为 189。
22．(1) 已知 $x+y=2$，$xy=7$，求 $x^2y+xy^2$ 的值；
(2) 已知 $3^a=27$，$3^b=4$，求 $3^{a+b}$ 的值。
(2) 已知 $3^a=27$，$3^b=4$，求 $3^{a+b}$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 解：
原式先提取公因式 $xy$，
$x^2y+xy^2 = xy(x+y)$
将 $x+y=2, xy=7$ 代入计算：
$= 7 \times 2 = $ $14$。
(2) 解：
根据同底数幂的乘法逆运算，
$3^{a+b} = 3^a \times 3^b$
因为 $3^a=27, 3^b=4$，代入计算：
$= 27 \times 4 = $ $108$。
(1) 解：
原式先提取公因式 $xy$，
$x^2y+xy^2 = xy(x+y)$
将 $x+y=2, xy=7$ 代入计算：
$= 7 \times 2 = $ $14$。
(2) 解：
根据同底数幂的乘法逆运算，
$3^{a+b} = 3^a \times 3^b$
因为 $3^a=27, 3^b=4$，代入计算：
$= 27 \times 4 = $ $108$。
23．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如 $x^2-2xy+y^2-1$。我们细心观察会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可与第四项结合，再应用平方差公式进行分解，过程如下：$x^2-2xy+y^2-1 = (x-y)^2-1^2 = (x-y+1)(x-y-1)$。这种方法叫分组分解法。
利用此思想方法解决：
(1) 分解因式：$x^2-2xy+y^2-9$；
(2) 已知 $a,b,c$ 分别是 $\triangle ABC$ 三边的边长，且 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$，请判断 $\triangle ABC$ 的形状，并说明理由。
利用此思想方法解决：
(1) 分解因式：$x^2-2xy+y^2-9$；
(2) 已知 $a,b,c$ 分别是 $\triangle ABC$ 三边的边长，且 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$，请判断 $\triangle ABC$ 的形状，并说明理由。
【参考答案与解析】
(1) 解：
原式 $= (x^2-2xy+y^2) - 9$
$= (x-y)^2 - 3^2$
$= $ $(x-y+3)(x-y-3)$
(2) 解：
$\triangle ABC$ 是等边三角形。
理由如下：
因为 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$，
等式两边同乘 2，得：
$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0$
分组重组得：
$(a^2-2ab+b^2) + (b^2-2bc+c^2) + (c^2-2ca+a^2) = 0$
即 $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$
因为三个非负数之和为0，所以每一个非负数都必须为0：
所以 $a-b=0, b-c=0, c-a=0$
解得 $a = b = c$。
所以该三角形是等边三角形。
(1) 解：
原式 $= (x^2-2xy+y^2) - 9$
$= (x-y)^2 - 3^2$
$= $ $(x-y+3)(x-y-3)$
(2) 解：
$\triangle ABC$ 是等边三角形。
理由如下：
因为 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$，
等式两边同乘 2，得：
$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0$
分组重组得：
$(a^2-2ab+b^2) + (b^2-2bc+c^2) + (c^2-2ca+a^2) = 0$
即 $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$
因为三个非负数之和为0，所以每一个非负数都必须为0：
所以 $a-b=0, b-c=0, c-a=0$
解得 $a = b = c$。
所以该三角形是等边三角形。
24．阅读材料：如果看到 $x^2-4x$，想：如果添上 $4$，恰好就是 $(x-2)^2$，这个过程叫作“配方”。
(1) 若 $x^2+4x+y^2-6y+13=0$，求 $xy$ 的值。
(2) 已知 $a,b,c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长且各边不相等，其中 $c$ 是最长的边。若 $a^2-10a+b^2-12b+61=0$，求 $c$ 的取值范围。
(1) 若 $x^2+4x+y^2-6y+13=0$，求 $xy$ 的值。
(2) 已知 $a,b,c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长且各边不相等，其中 $c$ 是最长的边。若 $a^2-10a+b^2-12b+61=0$，求 $c$ 的取值范围。
【参考答案与解析】
(1) 解：
将常数项 13 拆分为 4 和 9，并分组：
$(x^2+4x+4) + (y^2-6y+9) = 0$
配方得：
$(x+2)^2 + (y-3)^2 = 0$
由非负数性质知：$x+2=0$ 且 $y-3=0$
所以 $x = -2, y = 3$。
则 $xy = -2 \times 3 = $ $-6$。
(2) 解：
将 61 拆分为 25 和 36：
$(a^2-10a+25) + (b^2-12b+36) = 0$
配方得：
$(a-5)^2 + (b-6)^2 = 0$
解得 $a = 5, b = 6$。
因为 $a, b, c$ 是三角形的三边长且各边不相等，
由三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
$6 - 5 < c < 6 + 5 \Rightarrow 1 < c < 11$。
又已知 $c$ 是中最长的边，且各边不相等，即 $c > b > a$。
所以 $c > 6$。
综合可得 $c$ 的取值范围是：$6 < c < 11$。
(1) 解：
将常数项 13 拆分为 4 和 9，并分组：
$(x^2+4x+4) + (y^2-6y+9) = 0$
配方得：
$(x+2)^2 + (y-3)^2 = 0$
由非负数性质知：$x+2=0$ 且 $y-3=0$
所以 $x = -2, y = 3$。
则 $xy = -2 \times 3 = $ $-6$。
(2) 解：
将 61 拆分为 25 和 36：
$(a^2-10a+25) + (b^2-12b+36) = 0$
配方得：
$(a-5)^2 + (b-6)^2 = 0$
解得 $a = 5, b = 6$。
因为 $a, b, c$ 是三角形的三边长且各边不相等，
由三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
$6 - 5 < c < 6 + 5 \Rightarrow 1 < c < 11$。
又已知 $c$ 是中最长的边，且各边不相等，即 $c > b > a$。
所以 $c > 6$。
综合可得 $c$ 的取值范围是：$6 < c < 11$。