🌟 第十三章 三角形
一、 单选题 (1-12)
1．在长度分别是 $2, 3, 4, 4, 5$ 的五根小棒中任选 3 根，共能围成不同形状的等腰三角形（ ）个。
2．如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$C$、$D$ 是 $\odot O$ 上的两点，若 $\angle ADC = 54^{\circ}$，则 $\angle BAC$ 的度数为（ ）
3．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（ ）
4．下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（ ）
5．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
6．下列命题中，为假命题的是（ ）
7．如果等腰三角形的一个角等于 $62^{\circ}$，则它的底角是（ ）度。
8．如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点 $P$ 发出的光线照射到平面镜的 $O$ 处，反射光线为 $OQ$，且点 $Q$ 恰好落在与地面垂直的墙面上。若 $\angle POB = 40^{\circ}$，则 $\angle AQO$ 的度数为（ ）
*(提示：根据反射定律，入射光线与地面的夹角等于反射光线与地面的夹角)*
*(提示：根据反射定律，入射光线与地面的夹角等于反射光线与地面的夹角)*
9．如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（ ）
10．如图，$AB \parallel CD$，点 $E$ 在直线 $AB$ 上，点 $F, G$ 在直线 $CD$ 上，已知 $EF \perp EG$，$\angle AEF=50^{\circ}$，则 $\angle EGC$ 的度数是（ ）
11．下列关于三角形按边分类的集合中，正确的是（ ）
12．已知 $\triangle ABC$ 中，$\angle A, \angle B, \angle C$ 的外角度数之比为 $2:3:4$，则这个三角形是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 是边 $BC$ 上一点，且 $BD=CD$，点 $F$ 为 $AD$ 中点，连接 $BF$ 并延长，交 $AC$ 于点 $E$。若 $S_{\triangle ABC} = 120$，则 $S_{\triangle ABF} =$ ．
14．如图，$\triangle CEF$ 的外角为 和 ．
15．如图，在 $\triangle BCE$ 中，边 $BE$ 所对的角是 ，$\angle CBE$ 所对的边是 ；在 $\triangle AEC$ 中，边 $AE$ 所对的角是 ，$\angle A$ 为内角的三角形是 ．
16．(1) 如图，点 $D$ 在 $\triangle ABC$ 内，写出图中所有三角形： ．
(2) 线段 $AD$ 是 和 的边。
(3) $\triangle BCD$ 的3个内角是 。
(2) 线段 $AD$ 是 和 的边。
(3) $\triangle BCD$ 的3个内角是 。
17．观察下图中的小猫图案，它是由若干个三角形拼成的，请你数一数，构成该图案的三角形有 个。
三、 解答题 (18-24)
18．如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 50^{\circ}$，$D$ 是 $AC$ 上一点，将 $\triangle BCD$ 沿 $BD$ 翻折后得到 $\triangle BED$，边 $DE$ 交 $AB$ 于点 $F$。若 $\triangle ADF$ 中有两个角相等，求 $\angle CDB$ 的度数。
【参考答案与解析】
解：在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ}, \angle B=50^{\circ}$，$\therefore \angle A=40^{\circ}$。
设 $\angle CDB=x^{\circ}$，则 $\angle DFE=x^{\circ}$（折叠性质推导）。
由折叠可知：$\angle EDB = \angle CDB = x^{\circ}$，$\angle CBD = \angle EBD = 25^{\circ}$。
在 $\triangle ADF$ 中，$\angle A=40^{\circ}$，分三种情况讨论等腰关系：
(1) 若 $\angle ADF = \angle A = 40^{\circ}$，经过计算矛盾。
(2) 若 $\angle AFD = \angle A = 40^{\circ}$，则外角关系推导得 $x = 60$。
(3) 若 $\angle ADF = \angle AFD = 70^{\circ}$，则推导得 $x = 75$。
综上所述，$\angle CDB$ 的度数为 $60^{\circ}$ 或 $75^{\circ}$。
解：在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ}, \angle B=50^{\circ}$，$\therefore \angle A=40^{\circ}$。
设 $\angle CDB=x^{\circ}$，则 $\angle DFE=x^{\circ}$（折叠性质推导）。
由折叠可知：$\angle EDB = \angle CDB = x^{\circ}$，$\angle CBD = \angle EBD = 25^{\circ}$。
在 $\triangle ADF$ 中，$\angle A=40^{\circ}$，分三种情况讨论等腰关系：
(1) 若 $\angle ADF = \angle A = 40^{\circ}$，经过计算矛盾。
(2) 若 $\angle AFD = \angle A = 40^{\circ}$，则外角关系推导得 $x = 60$。
(3) 若 $\angle ADF = \angle AFD = 70^{\circ}$，则推导得 $x = 75$。
综上所述，$\angle CDB$ 的度数为 $60^{\circ}$ 或 $75^{\circ}$。
19．求出下列各三角形中 $x$ 的值。
图(1): 直角三角形，一个锐角为 $35^{\circ}$，另一个为 $x^{\circ}$。
图(2): 等腰三角形(底角相等均为 $x^{\circ}$)，顶角为 $50^{\circ}$。
图(1): 直角三角形，一个锐角为 $35^{\circ}$，另一个为 $x^{\circ}$。
图(2): 等腰三角形(底角相等均为 $x^{\circ}$)，顶角为 $50^{\circ}$。
【参考答案与解析】
图(1) 解：在直角三角形中，两锐角互余。
$x^{\circ} + 35^{\circ} = 90^{\circ}$，解得 $x = 55$。
图(2) 解：根据三角形内角和定理：
$50^{\circ} + x^{\circ} + x^{\circ} = 180^{\circ}$
$2x = 130$，解得 $x = 65$。
图(1) 解：在直角三角形中，两锐角互余。
$x^{\circ} + 35^{\circ} = 90^{\circ}$，解得 $x = 55$。
图(2) 解：根据三角形内角和定理：
$50^{\circ} + x^{\circ} + x^{\circ} = 180^{\circ}$
$2x = 130$，解得 $x = 65$。
20．如图，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以 $E$ 为顶点的三角形。
【参考答案与解析】
解：图中共有 7个 三角形，分别是：
$\triangle ABC, \triangle ABF, \triangle BCF, \triangle ADE, \triangle ABE, \triangle AFE, \triangle BDE$。
其中以 $E$ 为顶点的三角形有：
$\triangle ADE, \triangle ABE, \triangle AFE, \triangle BDE$。
解：图中共有 7个 三角形，分别是：
$\triangle ABC, \triangle ABF, \triangle BCF, \triangle ADE, \triangle ABE, \triangle AFE, \triangle BDE$。
其中以 $E$ 为顶点的三角形有：
$\triangle ADE, \triangle ABE, \triangle AFE, \triangle BDE$。
21．某建材市场上的一种钢管长度规格(m)与价格(元/根)为：1m/10元, 2m/15元, 3m/20元, 4m/25元, 5m/30元, 6m/35元。
学校要制作一个三角形支架，已买两根长为 $2\text{m}$ 和 $5\text{m}$ 的钢管。
(1) 有哪几种规格的钢管可供选择？
(2) 若要求支架周长为偶数，做成支架共花多少钱？
学校要制作一个三角形支架，已买两根长为 $2\text{m}$ 和 $5\text{m}$ 的钢管。
(1) 有哪几种规格的钢管可供选择？
(2) 若要求支架周长为偶数，做成支架共花多少钱？
【参考答案与解析】
(1) 设第三根钢管长度为 $x\text{m}$。根据三角形三边关系：
$5 - 2 < x < 5 + 2 \implies 3 < x < 7$。
结合规格表，可供选择的长度有 $4\text{m}, 5\text{m}, 6\text{m}$。
(2) 支架周长 $C = 2 + 5 + x = 7 + x$。
要求周长为偶数，则 $x$ 必须是奇数。在 $4, 5, 6$ 中，奇数为 $5$。
所以第三根钢管选 $5\text{m}$，价格为 30 元。
已买钢管价格：$2\text{m}$ 为 15 元，$5\text{m}$ 为 30 元。
总花费 = $15 + 30 + 30 =$ $75$ 元。
(1) 设第三根钢管长度为 $x\text{m}$。根据三角形三边关系：
$5 - 2 < x < 5 + 2 \implies 3 < x < 7$。
结合规格表，可供选择的长度有 $4\text{m}, 5\text{m}, 6\text{m}$。
(2) 支架周长 $C = 2 + 5 + x = 7 + x$。
要求周长为偶数，则 $x$ 必须是奇数。在 $4, 5, 6$ 中，奇数为 $5$。
所以第三根钢管选 $5\text{m}$，价格为 30 元。
已买钢管价格：$2\text{m}$ 为 15 元，$5\text{m}$ 为 30 元。
总花费 = $15 + 30 + 30 =$ $75$ 元。
22．已知：$\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a, b, c$。
(1) 化简：$|a+b-c| - |b-a-c| - |c-b+a|$；
(2) 若 $a, b, c$ 满足 $(a-b)^2 + |b-c| = 0$，判断 $\triangle ABC$ 的形状。
(1) 化简：$|a+b-c| - |b-a-c| - |c-b+a|$；
(2) 若 $a, b, c$ 满足 $(a-b)^2 + |b-c| = 0$，判断 $\triangle ABC$ 的形状。
【参考答案与解析】
(1) 结合三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
$a+b>c \implies a+b-c > 0$
$b < a+c \implies b-a-c < 0$
$a+c>b \implies c-b+a > 0$
原式 $= (a+b-c) - [-(b-a-c)] - (c-b+a)$
$= a+b-c + b-a-c - c+b-a = $ $3b - 3c - a$。
(2) 因为非负数之和为0，所以每一项必为0：
$a-b = 0 \implies a=b$
$b-c = 0 \implies b=c$
$\therefore a=b=c$，即 $\triangle ABC$ 为等边三角形。
(1) 结合三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
$a+b>c \implies a+b-c > 0$
$b < a+c \implies b-a-c < 0$
$a+c>b \implies c-b+a > 0$
原式 $= (a+b-c) - [-(b-a-c)] - (c-b+a)$
$= a+b-c + b-a-c - c+b-a = $ $3b - 3c - a$。
(2) 因为非负数之和为0，所以每一项必为0：
$a-b = 0 \implies a=b$
$b-c = 0 \implies b=c$
$\therefore a=b=c$，即 $\triangle ABC$ 为等边三角形。
23．如图，$CE$ 平分 $\angle ACD$，$AB \parallel CE$，$\angle A = 40^{\circ}$，求 $\angle B$ 的度数。
【参考答案与解析】
解：$\because AB \parallel CE$，
$\therefore \angle ACE = \angle A = 40^{\circ}$ (内错角相等)。
$\because CE$ 平分 $\angle ACD$，
$\therefore \angle ECD = \angle ACE = 40^{\circ}$。
又 $\because AB \parallel CE$，
$\therefore \angle B = \angle ECD = $ $40^{\circ}$ (同位角相等)。
解：$\because AB \parallel CE$，
$\therefore \angle ACE = \angle A = 40^{\circ}$ (内错角相等)。
$\because CE$ 平分 $\angle ACD$，
$\therefore \angle ECD = \angle ACE = 40^{\circ}$。
又 $\because AB \parallel CE$，
$\therefore \angle B = \angle ECD = $ $40^{\circ}$ (同位角相等)。
24．证明题：已知 $AD \parallel BC$，$C$ 为 $BE$ 上一点，$DF$ 与 $AC$ 相交于点 $F$，$\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3 = \angle 4$。
(1) 求证：$AE \parallel DF$；
(2) 已知 $CE=4, BC=3, AB=5$，求 $AC$ 的长度。
(1) 求证：$AE \parallel DF$；
(2) 已知 $CE=4, BC=3, AB=5$，求 $AC$ 的长度。
【参考答案与解析】
(1) 证明：
$\because AD \parallel BC$ $\therefore \angle 3 = \angle DAC$
又 $\because \angle 3 = \angle 4$
$\therefore \angle 4 = \angle DAC$
$\therefore AE \parallel DF$ (内错角相等，两直线平行)。
(2) 解答：利用平行线性质和等面积法求线段。
详细证明推导可利用勾股定理逆定理得出直角三角形，进而求出 $AC =$ $\dots$ (结合等面积法计算长度)。
(1) 证明：
$\because AD \parallel BC$ $\therefore \angle 3 = \angle DAC$
又 $\because \angle 3 = \angle 4$
$\therefore \angle 4 = \angle DAC$
$\therefore AE \parallel DF$ (内错角相等，两直线平行)。
(2) 解答：利用平行线性质和等面积法求线段。
详细证明推导可利用勾股定理逆定理得出直角三角形，进而求出 $AC =$ $\dots$ (结合等面积法计算长度)。