🌟 第十五章 轴对称 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．下列条件中，不能判定直线 $AB$ 是线段 $CD$（$C$，$D$不在线段 $AB$ 上）的垂直平分线的是（ ）
2．如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，点 $D$ 为线段 $BC$ 上一动点（不与点 $B$，$C$ 重合），连接 $AD$，作 $\angle ADE = 40^{\circ}$，交线段 $AC$ 于点 $E$，下列结论：
① $\angle B = \angle C$；
② 若 $\angle BAD = 40^{\circ}$，则 $\angle CDE = \angle B$；
③ 当 $\angle B = 40^{\circ}$ 时，则 $D$ 为 $BC$ 中点；
④ 当 $\triangle ADE$ 为等腰三角形时，$\angle B = 70^{\circ}$。
其中正确的有（ ）
① $\angle B = \angle C$；
② 若 $\angle BAD = 40^{\circ}$，则 $\angle CDE = \angle B$；
③ 当 $\angle B = 40^{\circ}$ 时，则 $D$ 为 $BC$ 中点；
④ 当 $\triangle ADE$ 为等腰三角形时，$\angle B = 70^{\circ}$。
其中正确的有（ ）
3．明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（ ）
4．如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB$ 边的垂直平分线 $DE$，分别与 $AB$、$AC$ 边交于点 $D$、$E$ 两点，$BC$ 边的垂直平分线 $FG$，分别与 $BC$、$AC$ 边交于点 $F$、$G$ 两点，连接 $BE$、$BG$。若 $\triangle BEG$ 的周长为 $20$，$GE = 2$，则 $AC$ 的长为（ ）
5．下列条件中，能判定 $\triangle ABC$ 为等边三角形的是（ ）
6．如图在四边形 $ABCE$ 中，$\angle A$ 和 $\angle E$ 都是直角，且 $AB \parallel EC$。现将 $\triangle BCE$ 沿 $BC$ 翻折，点 $E$ 的对应点为 $E'$，$CE'$ 与边 $AB$ 相交于点 $D$，恰好 $CD$ 是 $\angle ACE'$ 的角平分线，若 $AC=4$，则 $AB$ 的长为（ ）
7．如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，将 $\triangle BCD$ 沿 $BD$ 折叠，使点 $C$ 落在 $AB$ 上的点 $E$ 处，折痕为 $BD$，则下列结论中不一定成立的是（ ）
8．下列几何图形中有且仅有一条对称轴的是（ ）
9．如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个测平仪，在这个测平仪中，$AB=AC$，边 $BC$ 的中点 $D$ 处挂了一个重锤，观察此时重锤是否过点 $A$。他作出判断的依据是（ ）
10．在等边 $\triangle ABC$ 中，$AD \perp BC$，垂足为 $D$，$E$ 是 $AD$ 上一点，且 $BE=AC$。则 $\angle ABE$ 的度数为（ ）
11．如图，在 $\triangle ABC$ 中，分别以点 $A$、$B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}AB$ 长为半径作弧，相交于点 $D$、$E$，连接 $DE$ 交 $AB$ 于点 $P$，连接 $CP$。则与 $AP$ 的长度一定相等的线段是（ ）
12．钝角等腰三角形一条腰上的高是另一条腰长的一半，则等腰三角形底角度数为（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 边上一点，$AD$ 平分 $\angle BAC$，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使 $\triangle ABC$ 为等腰三角形，那么可以添加的条件是 ．（只需写出一个）
14．已知等腰三角形的顶角是 $70^{\circ}$，则腰上的高与底边的夹角的度数是 $^{\circ}$ ．
15．画一个图形的轴对称图形的一般步骤：
① 过已知点作已知直线的 ，并确定垂足；
② 在直线的另一侧，以垂足为一端点，在垂线上作一条线段使之等于已知 之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③ 连接通过原图形已知点所作的这些对称点，就得到原图形的 ．
① 过已知点作已知直线的 ，并确定垂足；
② 在直线的另一侧，以垂足为一端点，在垂线上作一条线段使之等于已知 之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③ 连接通过原图形已知点所作的这些对称点，就得到原图形的 ．
16．请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ．
17．平面直角坐标系中，若点 $P(x, 2)$ 与点 $Q(3, y)$ 关于 $y$ 轴对称，则 $x-y$ 的值为 ．
三、 解答题 (18-24)
18．已知：在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$BC = 6$，左右作平行移动的等边三角形 $DEF$ 的两个顶点 $E$、$F$ 始终在边 $BC$ 上，$DE$、$DF$ 分别与 $AB$ 相交于点 $G$、$H$。
(1) 当点 $F$ 与点 $C$ 重合时，点 $D$ 恰好在斜边 $AB$ 上，求 $\triangle DEF$ 的周长；
(2) 在 $\triangle DEF$ 作平行移动的过程中，图中是否存在与线段 $CF$ 始终相等的线段？如果存在，请指出并加以证明。
(1) 当点 $F$ 与点 $C$ 重合时，点 $D$ 恰好在斜边 $AB$ 上，求 $\triangle DEF$ 的周长；
(2) 在 $\triangle DEF$ 作平行移动的过程中，图中是否存在与线段 $CF$ 始终相等的线段？如果存在，请指出并加以证明。
【参考答案与解析】
(1) 解：
当 $F$ 与 $C$ 重合时，因为 $\triangle DEF$ 是等边三角形，所以 $\angle DFE = \angle DCE = 60^{\circ}$。
在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ}, \angle B=30^{\circ}$，所以 $\angle A = 60^{\circ}$。
在 $Rt\triangle ACD$ 中，$\angle ADC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$。
因为 $BC=6$，$\tan B = \frac{AC}{BC} \implies AC = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$。
在 $Rt\triangle ACD$ 中，$\angle ACD = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$，所以 $AD = AC \cdot \tan 30^{\circ} = 2$。
此时 $CD = AC \cdot \cos 30^{\circ}$ (此处逻辑略有出入，以正规解法为准)。
正规解法：$\angle DFE = 60^{\circ} \implies \angle DCA=30^{\circ}$，又$\angle A=60^{\circ}$，所以$\angle ADC=90^{\circ}$。
$CD = AC \cdot \sin 60^{\circ} = 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$。
因为 $\triangle DEF$ 为等边三角形，所以边长 $EF = CD = 3$。
所以 $\triangle DEF$ 的周长为 $3 \times 3 = 9$。
(2) 解：存在，CF = DG。
证明：由(1)可知，等边三角形 $DEF$ 的边长始终为 $3$，即 $DE=DF=EF=3$。
因为 $\triangle DEF$ 是等边三角形，所以 $\angle DEF = 60^{\circ}$。
因为 $\angle DEF = \angle B + \angle BGE$ (外角定理)，且 $\angle B = 30^{\circ}$，
所以 $\angle BGE = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$。
所以 $\angle B = \angle BGE$，得到 $BE = GE$。
又因为 $BC = CF + EF + BE = 6$，且 $EF = 3$，
所以 $CF + BE = 3$。即 $CF + GE = 3$。
而 $DE = DG + GE = 3$。
所以 $CF + GE = DG + GE$，从而得到 $CF = DG$。
(1) 解：
当 $F$ 与 $C$ 重合时，因为 $\triangle DEF$ 是等边三角形，所以 $\angle DFE = \angle DCE = 60^{\circ}$。
在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ}, \angle B=30^{\circ}$，所以 $\angle A = 60^{\circ}$。
在 $Rt\triangle ACD$ 中，$\angle ADC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$。
因为 $BC=6$，$\tan B = \frac{AC}{BC} \implies AC = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$。
在 $Rt\triangle ACD$ 中，$\angle ACD = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$，所以 $AD = AC \cdot \tan 30^{\circ} = 2$。
此时 $CD = AC \cdot \cos 30^{\circ}$ (此处逻辑略有出入，以正规解法为准)。
正规解法：$\angle DFE = 60^{\circ} \implies \angle DCA=30^{\circ}$，又$\angle A=60^{\circ}$，所以$\angle ADC=90^{\circ}$。
$CD = AC \cdot \sin 60^{\circ} = 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$。
因为 $\triangle DEF$ 为等边三角形，所以边长 $EF = CD = 3$。
所以 $\triangle DEF$ 的周长为 $3 \times 3 = 9$。
(2) 解：存在，CF = DG。
证明：由(1)可知，等边三角形 $DEF$ 的边长始终为 $3$，即 $DE=DF=EF=3$。
因为 $\triangle DEF$ 是等边三角形，所以 $\angle DEF = 60^{\circ}$。
因为 $\angle DEF = \angle B + \angle BGE$ (外角定理)，且 $\angle B = 30^{\circ}$，
所以 $\angle BGE = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$。
所以 $\angle B = \angle BGE$，得到 $BE = GE$。
又因为 $BC = CF + EF + BE = 6$，且 $EF = 3$，
所以 $CF + BE = 3$。即 $CF + GE = 3$。
而 $DE = DG + GE = 3$。
所以 $CF + GE = DG + GE$，从而得到 $CF = DG$。
19．已知：如图，在 $\triangle ABC$ 中，$CD$ 是中线，且 $CD = \frac{1}{2}AB$。求证：$\triangle ABC$ 是直角三角形。
【证明】
因为 $CD$ 是 $AB$ 边上的中线，
所以 $AD = BD = \frac{1}{2}AB$。
又因为已知 $CD = \frac{1}{2}AB$，
所以 $AD = BD = CD$。
在 $\triangle ADC$ 中，因为 $AD = CD$，所以 $\angle A = \angle ACD$。
在 $\triangle BDC$ 中，因为 $BD = CD$，所以 $\angle B = \angle BCD$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A + \angle B + \angle ACB = 180^{\circ}$。
即 $\angle A + \angle B + (\angle ACD + \angle BCD) = 180^{\circ}$。
代入相等的角可得：$2\angle ACD + 2\angle BCD = 180^{\circ}$。
即 $2(\angle ACD + \angle BCD) = 180^{\circ}$，所以 $\angle ACB = 90^{\circ}$。
因此，$\triangle ABC$ 是直角三角形。
因为 $CD$ 是 $AB$ 边上的中线，
所以 $AD = BD = \frac{1}{2}AB$。
又因为已知 $CD = \frac{1}{2}AB$，
所以 $AD = BD = CD$。
在 $\triangle ADC$ 中，因为 $AD = CD$，所以 $\angle A = \angle ACD$。
在 $\triangle BDC$ 中，因为 $BD = CD$，所以 $\angle B = \angle BCD$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A + \angle B + \angle ACB = 180^{\circ}$。
即 $\angle A + \angle B + (\angle ACD + \angle BCD) = 180^{\circ}$。
代入相等的角可得：$2\angle ACD + 2\angle BCD = 180^{\circ}$。
即 $2(\angle ACD + \angle BCD) = 180^{\circ}$，所以 $\angle ACB = 90^{\circ}$。
因此，$\triangle ABC$ 是直角三角形。
20．如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，$BE$ 平分 $\angle ABC$，$DE \parallel BC$。
(1) 请判断 $\triangle BDE$ 的形状，并说明理由；
(2) 若 $\angle C = 70^{\circ}$，$\angle AED = 50^{\circ}$，求 $\angle A$ 的度数。
(1) 请判断 $\triangle BDE$ 的形状，并说明理由；
(2) 若 $\angle C = 70^{\circ}$，$\angle AED = 50^{\circ}$，求 $\angle A$ 的度数。
【参考答案与解析】
(1) $\triangle BDE$ 是等腰三角形。
理由：因为 $DE \parallel BC$，
所以 $\angle DEB = \angle CBE$ (两直线平行，内错角相等)。
又因为 $BE$ 平分 $\angle ABC$，
所以 $\angle DBE = \angle CBE$。
所以 $\angle DBE = \angle DEB$。
所以 $BD = DE$ (等角对等边)。
即 $\triangle BDE$ 是等腰三角形。
(2) 解：
因为 $DE \parallel BC$，
所以 $\angle ADE = \angle ABC$ (两直线平行，同位角相等)。
$\angle C = \angle AED$？(注意原题可能是 $\angle ADE$，这里依题意解析)。
根据两直线平行，同位角相等，$\angle AED = \angle C = 70^{\circ}$，这与已知 $\angle AED=50^{\circ}$ 矛盾，说明题目条件可能为 $\angle ABC$ 或其它。假设依标准题意：
$DE \parallel BC \implies \angle ADE = \angle B$，$\angle AED = \angle C$。
已知 $\angle C=70^{\circ}$，若 $\angle AED=50^{\circ}$ 则不平行。修改理解：
如果 $\angle AED = 50^{\circ}$，$\angle C=70^{\circ}$ 且不平行？原题说是 $DE \parallel BC$。那只能是 $\triangle ADE$ 内角和。
在 $\triangle ABC$ 中，$DE \parallel BC \implies \angle ADE + \angle BDE...$
简单做法：在 $\triangle ADE$ 中，$\angle ADE = \angle ABC$，$\angle AED = \angle ACB = 70^{\circ}$? 条件冲突。以实际能算为准：
假定 $\angle A + \angle ADE + \angle AED = 180^{\circ}$，若 $\angle C=70^{\circ} \implies \angle AED = 70^{\circ}$ (同位角)。
这题可能条件有误，暂且用公式 $\angle A = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle C$ 解答。
(1) $\triangle BDE$ 是等腰三角形。
理由：因为 $DE \parallel BC$，
所以 $\angle DEB = \angle CBE$ (两直线平行，内错角相等)。
又因为 $BE$ 平分 $\angle ABC$，
所以 $\angle DBE = \angle CBE$。
所以 $\angle DBE = \angle DEB$。
所以 $BD = DE$ (等角对等边)。
即 $\triangle BDE$ 是等腰三角形。
(2) 解：
因为 $DE \parallel BC$，
所以 $\angle ADE = \angle ABC$ (两直线平行，同位角相等)。
$\angle C = \angle AED$？(注意原题可能是 $\angle ADE$，这里依题意解析)。
根据两直线平行，同位角相等，$\angle AED = \angle C = 70^{\circ}$，这与已知 $\angle AED=50^{\circ}$ 矛盾，说明题目条件可能为 $\angle ABC$ 或其它。假设依标准题意：
$DE \parallel BC \implies \angle ADE = \angle B$，$\angle AED = \angle C$。
已知 $\angle C=70^{\circ}$，若 $\angle AED=50^{\circ}$ 则不平行。修改理解：
如果 $\angle AED = 50^{\circ}$，$\angle C=70^{\circ}$ 且不平行？原题说是 $DE \parallel BC$。那只能是 $\triangle ADE$ 内角和。
在 $\triangle ABC$ 中，$DE \parallel BC \implies \angle ADE + \angle BDE...$
简单做法：在 $\triangle ADE$ 中，$\angle ADE = \angle ABC$，$\angle AED = \angle ACB = 70^{\circ}$? 条件冲突。以实际能算为准：
假定 $\angle A + \angle ADE + \angle AED = 180^{\circ}$，若 $\angle C=70^{\circ} \implies \angle AED = 70^{\circ}$ (同位角)。
这题可能条件有误，暂且用公式 $\angle A = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle C$ 解答。