🌟 第十六章 整式的乘法 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．计算 $x^6 \div x^3 \cdot x^2$ 的结果是（ ）
2．如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（ ）
3．若 $k$ 为正整数，则 $(-x^3)^k \cdot x^{2k}$ （ ）
4．若关于 $x$ 的多项式 $x^2 + kx + 9$ 是一个完全平方式，则常数 $k$ 的值是（ ）
5．已知 $a+b=5$，$ab=3$，$c=2$，则代数式 $ac+bc+c^2$ 的值是（ ）
6．已知 $a+b=4, a-b=2$，则 $a^2+b^2$ 的值是（ ）
7．计算 $(2a-b)(2a+b)$ 的结果是（ ）
8．已知下列算式：
① $x^2 \cdot x^3 = x^6$；
② $2x^3 + 3x^2 = 5x^5$；
③ $(x^2)^3 = x^6$；
④ $(x+y)^2 = x^2+y^2$。
其中计算结果正确的有（ ）
① $x^2 \cdot x^3 = x^6$；
② $2x^3 + 3x^2 = 5x^5$；
③ $(x^2)^3 = x^6$；
④ $(x+y)^2 = x^2+y^2$。
其中计算结果正确的有（ ）
9．设 $(-2a^2b^3) \cdot (-3ab) = ma^nb^p$，则 $m+n-p$ 的值为（ ）
10．计算 $(4x^3y^2)^2 \div (2xy^2)$，正确的结果是（ ）
11．我国宋代数学家杨辉发现了 $(a+b)^n$ （$n=0, 1, 2, 3, \dots$）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，$(a+b)^7$ 展开式的系数和是（ ）
$(a+b)^0 = 1$
1
展开式系数和为 $1$
$(a+b)^1 = a+b$
1 1
展开式系数和为 $1+1$
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
1 2 1
展开式系数和为 $1+2+1$
$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
1 3 3 1
展开式系数和为 $1+3+3+1$
$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
1 4 6 4 1
展开式系数和为 $1+4+6+4+1$
12．计算 $(x+1)(x^2+1)(x-1)$ 的结果为（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．有两类正方形 $A, B$，其边长分别为 $a, b$。现将 $B$ 放在 $A$ 的内部得图1，将 $A, B$ 并列放置后构造新的正方形得图2。若图1和图2中阴影部分的面积分别为 $1$ 和 $12$，则：
(1) 正方形 $A, B$ 的面积之和为 ；
(2) 小明想要拼一个两边长分别为 $(a+b)$ 和 $(a+2b)$ 的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形 $A, B$ 外，还需要以 $a, b$ 为边的长方形 个。
(2) 小明想要拼一个两边长分别为 $(a+b)$ 和 $(a+2b)$ 的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形 $A, B$ 外，还需要以 $a, b$ 为边的长方形 个。
14．若单项式 $3x^{2m}y$ 与 $-2x^4y^n$ 是同类项，那么这两个单项式的积是 ．
15．在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使得运算更简单。已知 $x^2+x=3$，则代数式 $(x^2+x)^3 \div (x^2+x)^2 \times (x^2+x)$ 的值为 ．
16．若 $x^2-2x-5=0$，则 $x(x-2)+5$ 的值为 ．
17．长方形的长为 $2x^2y$，宽为 $3xy^2$，则它的面积是 ．
三、 解答题 (18-24)
18．计算：
$$(12x^3y^4 - 6x^2y^3 + 3xy^2) \div (-3xy^2)$$
$$(12x^3y^4 - 6x^2y^3 + 3xy^2) \div (-3xy^2)$$
【参考答案与解析】
解：本题考查多项式除以单项式法则。
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
原式 $= (12x^3y^4) \div (-3xy^2) - (6x^2y^3) \div (-3xy^2) + (3xy^2) \div (-3xy^2)$
$= -4x^{3-1}y^{4-2} - (-2x^{2-1}y^{3-2}) + (-1)$
$= $ $-4x^2y^2 + 2xy - 1$。
解：本题考查多项式除以单项式法则。
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
原式 $= (12x^3y^4) \div (-3xy^2) - (6x^2y^3) \div (-3xy^2) + (3xy^2) \div (-3xy^2)$
$= -4x^{3-1}y^{4-2} - (-2x^{2-1}y^{3-2}) + (-1)$
$= $ $-4x^2y^2 + 2xy - 1$。
19．计算：
(1) $(-2a^2)^3 \cdot a$
(2) $x \cdot x^2 \cdot x^3$
(1) $(-2a^2)^3 \cdot a$
(2) $x \cdot x^2 \cdot x^3$
【参考答案与解析】
(1) 解：
根据积的乘方和幂的乘方法则计算：
原式 $= (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot a$
$= -8a^6 \cdot a$
$= $ $-8a^7$。
(2) 解：
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加：
原式 $= x^{1+2+3}$
$= $ $x^6$。
(1) 解：
根据积的乘方和幂的乘方法则计算：
原式 $= (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot a$
$= -8a^6 \cdot a$
$= $ $-8a^7$。
(2) 解：
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加：
原式 $= x^{1+2+3}$
$= $ $x^6$。
20．先化简，再求值：
$$(x-2)^2 + (x+2)(x-2) - 2x(x-1)$$，其中 $x=3$。
$$(x-2)^2 + (x+2)(x-2) - 2x(x-1)$$，其中 $x=3$。
【参考答案与解析】
解：本题考查整式的混合运算。
先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则进行化简：
原式 $= (x^2 - 4x + 4) + (x^2 - 4) - (2x^2 - 2x)$
$= x^2 - 4x + 4 + x^2 - 4 - 2x^2 + 2x$
合并同类项，得：
$= (1+1-2)x^2 + (-4+2)x + (4-4)$
$= $ $-2x$。
将 $x=3$ 代入化简后的式子：
原式 $= -2 \times 3 = $ $-6$。
*(注：若参考答案给出0等其他数值，可能是多项式系数有变化。以此过程推演无误。)*
解：本题考查整式的混合运算。
先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则进行化简：
原式 $= (x^2 - 4x + 4) + (x^2 - 4) - (2x^2 - 2x)$
$= x^2 - 4x + 4 + x^2 - 4 - 2x^2 + 2x$
合并同类项，得：
$= (1+1-2)x^2 + (-4+2)x + (4-4)$
$= $ $-2x$。
将 $x=3$ 代入化简后的式子：
原式 $= -2 \times 3 = $ $-6$。
*(注：若参考答案给出0等其他数值，可能是多项式系数有变化。以此过程推演无误。)*
21．计算：
(1) $(3+2)(3-2)(3^2+2^2)$
(2) $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \div \sqrt{2}$
(1) $(3+2)(3-2)(3^2+2^2)$
(2) $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \div \sqrt{2}$
【参考答案与解析】
(1) 解：
利用平方差公式连续计算：
原式 $= (3^2 - 2^2)(3^2 + 2^2)$
$= (3^2)^2 - (2^2)^2$
$= 3^4 - 2^4$
$= 81 - 16 = $ $65$。
*(注：参考答案给的若是6等，则题目可能为不同的系数。)*
(2) 解：
原式 $= \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$= \sqrt{\frac{6}{2}} + 1$
$= $ $\sqrt{3} + 1$。
(1) 解：
利用平方差公式连续计算：
原式 $= (3^2 - 2^2)(3^2 + 2^2)$
$= (3^2)^2 - (2^2)^2$
$= 3^4 - 2^4$
$= 81 - 16 = $ $65$。
*(注：参考答案给的若是6等，则题目可能为不同的系数。)*
(2) 解：
原式 $= \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$= \sqrt{\frac{6}{2}} + 1$
$= $ $\sqrt{3} + 1$。
22．先化简，再求值：
$$(x+y)(x-y) - x(x+y) + y(x-y)$$，其中 $x=2, y=1$。
$$(x+y)(x-y) - x(x+y) + y(x-y)$$，其中 $x=2, y=1$。
【参考答案与解析】
解：原式化简，
先利用平方差公式和单项式乘多项式展开：
原式 $= (x^2 - y^2) - (x^2 + xy) + (xy - y^2)$
$= x^2 - y^2 - x^2 - xy + xy - y^2$
合并同类项得：
$= -2y^2$。
将 $y=1$ 代入（化简后与 $x$ 无关）：
原式 $= -2 \times (1)^2 = $ $-2$。
解：原式化简，
先利用平方差公式和单项式乘多项式展开：
原式 $= (x^2 - y^2) - (x^2 + xy) + (xy - y^2)$
$= x^2 - y^2 - x^2 - xy + xy - y^2$
合并同类项得：
$= -2y^2$。
将 $y=1$ 代入（化简后与 $x$ 无关）：
原式 $= -2 \times (1)^2 = $ $-2$。
23．
(1) 计算：$(-2a^2b)^3$
(2) 若 $10^m = a, 10^n = b$，用含有 $m, n$（或 $a, b$）的代数式表示 $10^{2m+3n}$。
(1) 计算：$(-2a^2b)^3$
(2) 若 $10^m = a, 10^n = b$，用含有 $m, n$（或 $a, b$）的代数式表示 $10^{2m+3n}$。
【参考答案与解析】
(1) 解：
逆用积的乘方进行计算：
原式 $= (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3$
$= $ $-8a^6b^3$。
(2) 解：
逆用同底数幂的乘法和幂的乘方进行计算：
因为 $10^{2m+3n} = 10^{2m} \cdot 10^{3n}$
$= (10^m)^2 \cdot (10^n)^3$
又已知 $10^m = a, 10^n = b$，
代入可得：
原式 $= $ $a^2b^3$。
(1) 解：
逆用积的乘方进行计算：
原式 $= (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3$
$= $ $-8a^6b^3$。
(2) 解：
逆用同底数幂的乘法和幂的乘方进行计算：
因为 $10^{2m+3n} = 10^{2m} \cdot 10^{3n}$
$= (10^m)^2 \cdot (10^n)^3$
又已知 $10^m = a, 10^n = b$，
代入可得：
原式 $= $ $a^2b^3$。
24．计算：
(1) $(-x^2y^3)^2 \cdot (xy)^3 \div x^3y^4$
(2) $(2a^2b)^3 \div 4ab^2 \cdot (-a)^2$
(1) $(-x^2y^3)^2 \cdot (xy)^3 \div x^3y^4$
(2) $(2a^2b)^3 \div 4ab^2 \cdot (-a)^2$
【参考答案与解析】
(1) 解：
利用幂的乘方与积的乘方，单项式与单项式相乘以及单项式除以单项式的运算法则计算：
原式 $= (x^4y^6) \cdot (x^3y^3) \div x^3y^4$
$= x^{4+3}y^{6+3} \div x^3y^4$
$= x^7y^9 \div x^3y^4$
$= x^{7-3}y^{9-4}$
$= $ $x^4y^5$。
(2) 解：
先计算积的乘方，再依次计算乘除：
原式 $= (8a^6b^3) \div 4ab^2 \cdot a^2$
$= (8 \div 4)a^{6-1}b^{3-2} \cdot a^2$
$= 2a^5b \cdot a^2$
$= $ $2a^7b$。
(1) 解：
利用幂的乘方与积的乘方，单项式与单项式相乘以及单项式除以单项式的运算法则计算：
原式 $= (x^4y^6) \cdot (x^3y^3) \div x^3y^4$
$= x^{4+3}y^{6+3} \div x^3y^4$
$= x^7y^9 \div x^3y^4$
$= x^{7-3}y^{9-4}$
$= $ $x^4y^5$。
(2) 解：
先计算积的乘方，再依次计算乘除：
原式 $= (8a^6b^3) \div 4ab^2 \cdot a^2$
$= (8 \div 4)a^{6-1}b^{3-2} \cdot a^2$
$= 2a^5b \cdot a^2$
$= $ $2a^7b$。