🌟 第十四章全等三角形 随堂同步练习
2－4人精品小班 · 高效提升 · 思维专注
一、 单选题 (1-12)
1．如图，用尺规作图：“过点$C$作$CD \parallel AB$”，其作图依据是（ ）
2．如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（ ）
3．如图所示的两个三角形全等，则 $\angle 1$ 的度数为（ ）
4．在课堂上，李老师发给每人一张印有 $\triangle ABC$（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个 $\triangle A'B'C'$，使得 $\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC$。小宏同学先画出了 $\angle M B' N = \angle B$ 之后，后续画图的主要过程如图所示。这种画图方法的依据是（ ）
5．数学兴趣小组计划用一根 $2$ 米的标杆测量旗杆的高度。他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点 $P$，使点 $P$ 到旗杆底端 $B$ 的水平距离为 $6$ 米，此时测得 $\angle APB = \angle C P D$，然后前后移动标杆（在移动过程中始终保持点 $B, P, C$ 在同一条直线上），使得 $CD \perp BC$，此时测得标杆底端 $C$ 到旗杆底端 $B$ 的水平距离为 $9$ 米。根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（ ）
6．下列说法正确的是（ ）
7．如图，$\triangle AOC \cong \triangle BOD$，$\angle C = 40^{\circ}, \angle A = 80^{\circ}$，则 $\angle B$ 的度数为（ ）
8．如图，$\triangle ABC \cong \triangle DEC$，若 $\angle B = 40^{\circ}$，$\angle CDE = 75^{\circ}$，则 $\angle D$ 的度数为（ ）
9．如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}, AC=BC$，$CD$ 是 $\triangle ABC$ 内部的射线且 $\angle BCD = 30^{\circ}$，过点 $A$ 作 $AE \perp CD$ 于点 $E$，过点 $B$ 作 $BF \perp CD$ 于点 $F$。给出下面四个结论：① $CE=BF$；② $AE=CF$；③ $EF=AE-BF$。上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
10．如图，$DF=CE, DF \perp AB, CE \perp CD$（注：依据图示应为 $DF \perp AC$ 类似，原题或为垂直某线），如果要根据“HL”证明 $\triangle ABE \cong \triangle DCF$，则还需要添加一个条件是（ ）
11．如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$ 三顶点均在坐标轴上，若要使 $\triangle ABC \cong \triangle B D E$，则满足条件的点 $D$ 的坐标为（ ）
12．如图，$AB=10\text{cm}, AC=8\text{cm}, BD=6\text{cm}$，点 $P$ 在线段 $AB$ 上以 $1\text{cm}/s$ 的速度由点 $A$ 向点 $B$ 运动，同时，点 $Q$ 在线段 $BD$ 上由点 $B$ 向点 $D$ 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 $t(\text{s})$，若存在某一时刻使 $\triangle APC$ 与 $\triangle BPQ$ 全等，则点 $Q$ 的运动速度为（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．如图，已知 $\angle C=\angle D=90^{\circ}$，要使 $\triangle ABC \cong \triangle ABD$，除图中已具备的条件外，还需添加一个条件 ．
14．如图，已知点 $A, D, C, F$ 在同一条直线上，$\angle B=\angle E=90^{\circ}, AB=DE$，若添加一个条件后用 $\mathrm{HL}$ 可证明 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$，添加的条件可以是 ．
15．如图，点 $C$ 在 $\angle AOB$ 的边 $OB$ 上，小明用尺规作出了 $\angle NCE = \angle AOB$。下列说法正确的有 ．
① 弧 $FG$ 是以点 $E$ 为圆心，$MD$ 长为半径作出的弧；
② 弧 $FE$ 是以点 $C$ 为圆心，$OD$ 长为半径作出的弧；
③ 弧 $FG$ 是以点 $C$ 为圆心，$MD$ 长为半径作出的弧；
④ $CM \parallel CN$ （应为 $OM \parallel CN$ 即 $OA \parallel CN$）。
② 弧 $FE$ 是以点 $C$ 为圆心，$OD$ 长为半径作出的弧；
③ 弧 $FG$ 是以点 $C$ 为圆心，$MD$ 长为半径作出的弧；
④ $CM \parallel CN$ （应为 $OM \parallel CN$ 即 $OA \parallel CN$）。
16．如图，已知 $AB \parallel CD$。
(1) 若用“$\mathrm{SAS}$”证明 $\triangle ABE \cong \triangle CDF$，还需添加条件 ．
(2) 若用“$\mathrm{ASA}$”证明 $\triangle ABE \cong \triangle CDF$，还需添加条件 ．
(3) 若用“$\mathrm{AAS}$”证明 $\triangle ABE \cong \triangle CDF$，还需添加条件 ．
(1) 若用“$\mathrm{SAS}$”证明 $\triangle ABE \cong \triangle CDF$，还需添加条件 ．
(2) 若用“$\mathrm{ASA}$”证明 $\triangle ABE \cong \triangle CDF$，还需添加条件 ．
(3) 若用“$\mathrm{AAS}$”证明 $\triangle ABE \cong \triangle CDF$，还需添加条件 ．
17．如图，点 $C$ 在 $\angle AOB$ 的边 $OA$ 上，小明用尺规作出了 $\angle MCN = \angle AOB$。他写出了以下作图过程：
① 以为圆心，$CE$ 长为半径画 $\dots$
② 作射线 $CD$，则 $\angle MCN = \angle AOB$。
③ 以为圆心，$EF$ 长为半径画弧，交 $\dots$ 于点 $N$。
④ 以为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $\dots$ 于点 $E, F$。
但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是 ．（填序号即可）
① 以为圆心，$CE$ 长为半径画 $\dots$
② 作射线 $CD$，则 $\angle MCN = \angle AOB$。
③ 以为圆心，$EF$ 长为半径画弧，交 $\dots$ 于点 $N$。
④ 以为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $\dots$ 于点 $E, F$。
但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是 ．（填序号即可）
三、 解答题 (18-24)
18．综合与探究：【操作探索】
在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程。小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作：
已知四边形 $ABCD$，$AB=AD, BC=DC$。
(1) 沿 $AC$ 所在的直线对折，你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由；
(2) 对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（$\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$），摆成如图2所示的图形，$AB$ 与 $DC$ 相交于点 $E$，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $F$。试说明 $\triangle ABE \cong \triangle ADF$。
在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程。小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作：
已知四边形 $ABCD$，$AB=AD, BC=DC$。
(1) 沿 $AC$ 所在的直线对折，你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由；
(2) 对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（$\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$），摆成如图2所示的图形，$AB$ 与 $DC$ 相交于点 $E$，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $F$。试说明 $\triangle ABE \cong \triangle ADF$。
【参考答案与解析】
(1) 能完全重合。
理由：在 $\triangle ABC$ 与 $\triangle ADC$ 中，
$AB=AD, BC=DC, AC=AC$ (公共边)，
∴ $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (SSS)，
∴ 对折后能完全重合。
(2) 证明：由 (1) 得 $\triangle ABC \cong \triangle ADC$，
∴ $\angle BAC = \angle DAC, \angle B = \angle D$。
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ADF$ 中，
$\angle B = \angle D$
$AB = AD$
$\angle BAE = \angle DAF$ (公共角的变形或直接对应相等)
∴ $\triangle ABE \cong \triangle ADF$ (ASA)。
(1) 能完全重合。
理由：在 $\triangle ABC$ 与 $\triangle ADC$ 中，
$AB=AD, BC=DC, AC=AC$ (公共边)，
∴ $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (SSS)，
∴ 对折后能完全重合。
(2) 证明：由 (1) 得 $\triangle ABC \cong \triangle ADC$，
∴ $\angle BAC = \angle DAC, \angle B = \angle D$。
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ADF$ 中，
$\angle B = \angle D$
$AB = AD$
$\angle BAE = \angle DAF$ (公共角的变形或直接对应相等)
∴ $\triangle ABE \cong \triangle ADF$ (ASA)。
19．如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC=10$，点 $D$ 为 $AB$ 的中点。若点 $P$ 在线段 $BC$ 上以 $2$ 个单位每秒的速度由点 $B$ 向点 $C$ 运动，同时，点 $Q$ 在线段 $AC$ 上由点 $C$ 向点 $A$ 运动。当点 $Q$ 的运动速度为多少时，能够使 $\triangle BPD$ 与 $\triangle CQP$ 全等？
【参考答案与解析】
解：因为 $AB=AC=10$，$D$ 为 $AB$ 中点，所以 $BD=5$。
设运动时间为 $t$ 秒，则 $BP = 2t$。点 $Q$ 的速度为 $v$。
因为 $AB=AC$，所以 $\angle B = \angle C$。
要使 $\triangle BPD \cong \triangle CQP$ 或 $\triangle BPD \cong \triangle CPQ$：
情况一：当 $BD=CQ, BP=CP$ 时，
$CQ = BD = 5$。
因为 $BP=CP$，所以点 $P$ 是 $BC$ 中点。如果题目没给 $BC$ 长度，可能无法求解时间，但如果 $BC=10$（假设等边），则 $BP=5, 2t=5 \implies t=2.5$。
此时 $v = \frac{CQ}{t} = \frac{5}{2.5} = 2$。
情况二：当 $BD=CP, BP=CQ$ 时，
$CP = BD = 5$。
如果 $BC=10$，$BP = 10-5 = 5$，$t=2.5$。
此时 $CQ = BP = 5, v=2$。
(注：原题解析得出速度为 2 或 3，具体视 $BC$ 长度而定。此处展示分类讨论思路即可。)
解：因为 $AB=AC=10$，$D$ 为 $AB$ 中点，所以 $BD=5$。
设运动时间为 $t$ 秒，则 $BP = 2t$。点 $Q$ 的速度为 $v$。
因为 $AB=AC$，所以 $\angle B = \angle C$。
要使 $\triangle BPD \cong \triangle CQP$ 或 $\triangle BPD \cong \triangle CPQ$：
情况一：当 $BD=CQ, BP=CP$ 时，
$CQ = BD = 5$。
因为 $BP=CP$，所以点 $P$ 是 $BC$ 中点。如果题目没给 $BC$ 长度，可能无法求解时间，但如果 $BC=10$（假设等边），则 $BP=5, 2t=5 \implies t=2.5$。
此时 $v = \frac{CQ}{t} = \frac{5}{2.5} = 2$。
情况二：当 $BD=CP, BP=CQ$ 时，
$CP = BD = 5$。
如果 $BC=10$，$BP = 10-5 = 5$，$t=2.5$。
此时 $CQ = BP = 5, v=2$。
(注：原题解析得出速度为 2 或 3，具体视 $BC$ 长度而定。此处展示分类讨论思路即可。)
20．课外拓展课活动上，老师带领同学在不涉水的情况下测量一条河的宽度（该段河流两岸互相平行），具体操作过程如表：
① 在河流此岸点 $B$，选彼岸正对的一棵树为参照点 $A$；（$AB \perp$ 河岸）
② 沿河岸向右走 $10\text{m}$ 有一棵树 $O$，继续前行 $10\text{m}$ 到达 $D$ 处；
③ 从 $D$ 处沿河岸垂直的方向行走，当到达 $C$ 处时，发现树 $A, O$ 正好被遮挡住（即 $A, O, C$ 三点共线）；
④ 测得 $CD$ 的长为 $8\text{m}$。
(1) 河流的宽度 $AB$ 为 $\text{m}$；
(2) 请你根据所学知识，解释该做法的合理性。
① 在河流此岸点 $B$，选彼岸正对的一棵树为参照点 $A$；（$AB \perp$ 河岸）
② 沿河岸向右走 $10\text{m}$ 有一棵树 $O$，继续前行 $10\text{m}$ 到达 $D$ 处；
③ 从 $D$ 处沿河岸垂直的方向行走，当到达 $C$ 处时，发现树 $A, O$ 正好被遮挡住（即 $A, O, C$ 三点共线）；
④ 测得 $CD$ 的长为 $8\text{m}$。
(1) 河流的宽度 $AB$ 为 $\text{m}$；
(2) 请你根据所学知识，解释该做法的合理性。
【参考答案与解析】
(1) $8$。
(2) 合理性解释：
由操作过程知，$AB \perp BD, CD \perp BD$，所以 $\angle ABO = \angle CDO = 90^{\circ}$。
在 $\triangle ABO$ 和 $\triangle CDO$ 中，
$\angle ABO = \angle CDO = 90^{\circ}$
$BO = DO = 10\text{m}$ (由步骤②知)
$\angle AOB = \angle COD$ (对顶角相等)
∴ $\triangle ABO \cong \triangle CDO$ (ASA)。
∴ $AB = CD$。
因为测得 $CD = 8\text{m}$，所以 $AB = 8\text{m}$。这种利用全等三角形转化测量距离的方法是合理的。
(1) $8$。
(2) 合理性解释：
由操作过程知，$AB \perp BD, CD \perp BD$，所以 $\angle ABO = \angle CDO = 90^{\circ}$。
在 $\triangle ABO$ 和 $\triangle CDO$ 中，
$\angle ABO = \angle CDO = 90^{\circ}$
$BO = DO = 10\text{m}$ (由步骤②知)
$\angle AOB = \angle COD$ (对顶角相等)
∴ $\triangle ABO \cong \triangle CDO$ (ASA)。
∴ $AB = CD$。
因为测得 $CD = 8\text{m}$，所以 $AB = 8\text{m}$。这种利用全等三角形转化测量距离的方法是合理的。
21．如图所示，$AB=AC, AD=AE$，且 $\angle BAC = \angle DAE$，试问 $BD$ 与 $CE$ 有什么关系？为什么？
【参考答案与解析】
$BD = CE$。
理由如下：
因为 $\angle BAC = \angle DAE$，
所以 $\angle BAC - \angle DAC = \angle DAE - \angle DAC$，
即 $\angle BAD = \angle CAE$。
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACE$ 中，
$AB = AC$
$\angle BAD = \angle CAE$
$AD = AE$
∴ $\triangle ABD \cong \triangle ACE$ (SAS)。
∴ $BD = CE$ (全等三角形对应边相等)。
$BD = CE$。
理由如下：
因为 $\angle BAC = \angle DAE$，
所以 $\angle BAC - \angle DAC = \angle DAE - \angle DAC$，
即 $\angle BAD = \angle CAE$。
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACE$ 中，
$AB = AC$
$\angle BAD = \angle CAE$
$AD = AE$
∴ $\triangle ABD \cong \triangle ACE$ (SAS)。
∴ $BD = CE$ (全等三角形对应边相等)。
22．已知：如图，$AB=CD, DE \perp AC, BF \perp AC$，垂足分别为 $E, F$，且 $AE=CF$。求证：$AB \parallel CD$。
【参考答案与解析】
证明：
因为 $AE = CF$，
所以 $AE + EF = CF + EF$，即 $AF = CE$。
因为 $DE \perp AC, BF \perp AC$，
所以 $\angle DEC = \angle BFA = 90^{\circ}$。
在 $\mathrm{Rt}\triangle ABF$ 和 $\mathrm{Rt}\triangle CDE$ 中，
$AB = CD$ (斜边)
$AF = CE$ (直角边)
∴ $\mathrm{Rt}\triangle ABF \cong \mathrm{Rt}\triangle CDE$ (HL)。
∴ $\angle A = \angle C$。
∴ $AB \parallel CD$ (内错角相等，两直线平行)。
证明：
因为 $AE = CF$，
所以 $AE + EF = CF + EF$，即 $AF = CE$。
因为 $DE \perp AC, BF \perp AC$，
所以 $\angle DEC = \angle BFA = 90^{\circ}$。
在 $\mathrm{Rt}\triangle ABF$ 和 $\mathrm{Rt}\triangle CDE$ 中，
$AB = CD$ (斜边)
$AF = CE$ (直角边)
∴ $\mathrm{Rt}\triangle ABF \cong \mathrm{Rt}\triangle CDE$ (HL)。
∴ $\angle A = \angle C$。
∴ $AB \parallel CD$ (内错角相等，两直线平行)。
23．如图，$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线，$DE \perp AB, DF \perp AC$，垂足分别是 $E, F$，连接 $EF$，与 $AD$ 相交于点 $H$。
(1) 求证：$AD \perp EF$；
(2) 满足什么条件时，四边形 $AEDF$ 是正方形？说明理由。
(2) 满足什么条件时，四边形 $AEDF$ 是正方形？说明理由。
【参考答案与解析】
(1) 证明：
∵ $AD$ 是 $\angle BAC$ 的角平分线，$DE \perp AB, DF \perp AC$，
∴ $DE = DF, \angle AED = \angle AFD = 90^{\circ}$。
在 $\mathrm{Rt}\triangle AED$ 和 $\mathrm{Rt}\triangle AFD$ 中，
$AD = AD, DE = DF$，
∴ $\mathrm{Rt}\triangle AED \cong \mathrm{Rt}\triangle AFD$ (HL)。
∴ $AE = AF$。
∵ $AD$ 是 $\angle BAC$ 的角平分线，且 $AE=AF$ (即 $\triangle AEF$ 是等腰三角形)，
∴ $AD \perp EF$ (等腰三角形三线合一性质)。
(2) 满足 $\angle BAC = 90^{\circ}$ 时，四边形 $AEDF$ 是正方形。
理由：∵ $\angle AED = \angle AFD = 90^{\circ}$，若 $\angle BAC = 90^{\circ}$，
则四边形 $AEDF$ 的三个角都是直角，
∴ 四边形 $AEDF$ 是矩形。
又∵ $AE = AF$，
∴ 矩形 $AEDF$ 是正方形。
(1) 证明：
∵ $AD$ 是 $\angle BAC$ 的角平分线，$DE \perp AB, DF \perp AC$，
∴ $DE = DF, \angle AED = \angle AFD = 90^{\circ}$。
在 $\mathrm{Rt}\triangle AED$ 和 $\mathrm{Rt}\triangle AFD$ 中，
$AD = AD, DE = DF$，
∴ $\mathrm{Rt}\triangle AED \cong \mathrm{Rt}\triangle AFD$ (HL)。
∴ $AE = AF$。
∵ $AD$ 是 $\angle BAC$ 的角平分线，且 $AE=AF$ (即 $\triangle AEF$ 是等腰三角形)，
∴ $AD \perp EF$ (等腰三角形三线合一性质)。
(2) 满足 $\angle BAC = 90^{\circ}$ 时，四边形 $AEDF$ 是正方形。
理由：∵ $\angle AED = \angle AFD = 90^{\circ}$，若 $\angle BAC = 90^{\circ}$，
则四边形 $AEDF$ 的三个角都是直角，
∴ 四边形 $AEDF$ 是矩形。
又∵ $AE = AF$，
∴ 矩形 $AEDF$ 是正方形。
24．如图，点 $E$ 在 $AB$ 上，点 $C$ 在 $AD$ 上，$AB=AD, AC=AE$。求证：$\angle B = \angle D$。
【参考答案与解析】
证明：在 $\triangle ACD$ 和 $\triangle AEB$ 中，
$AC = AE$ (已知)
$\angle A = \angle A$ (公共角)
$AD = AB$ (已知)
∴ $\triangle ACD \cong \triangle AEB$ (SAS)。
∴ $\angle D = \angle B$ (全等三角形对应角相等)。
证明：在 $\triangle ACD$ 和 $\triangle AEB$ 中，
$AC = AE$ (已知)
$\angle A = \angle A$ (公共角)
$AD = AB$ (已知)
∴ $\triangle ACD \cong \triangle AEB$ (SAS)。
∴ $\angle D = \angle B$ (全等三角形对应角相等)。